Runge-Kutta-Verfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 So 30.09.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Ein 3-stufiges Runge-Kutta-Verfahren sei gegeben durch das Butchertableau:
0 | 0 0 0
[mm] a_{2} [/mm] | [mm] a_{2} [/mm] 0 0
[mm] a_{3} [/mm] | [mm] a_{3}-b_{32} [/mm] | [mm] b_{32} [/mm] 0
[mm] c_{1} [/mm] | [mm] c_{2} [/mm] | [mm] c_{3}
[/mm]
Zeigen Sie, dass dieses Verfahren die Konsistenzordnung 3 hat, falls folgende, nichtlineare Gleichungen für die Parameter erfüllt sind:
[mm] c_{1}+c_{2}+c_{3}=1
[/mm]
[mm] c_{2}a_{2}+c_{3}a_{3}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] c_{2}a_{2}^{2}+c_{3}a_{3}^{2}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] c_{3}b_{32}a_{2}=\bruch{1}{6}
[/mm]
Finden Sie eine Lösung des GLeichungssystems und geben Sie die Inkrementfunktion des zugehörigen Verfahrens an. |
Jetzt meine Frage ist ganz allgemein, wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
Muss ich die Gleichungen in eine Matrix schrieben und dann das Gleichungssystem lösen?
Oder was muss ich tun?
Ich bin völlig verwirrt... Wir hatten das auch nicht in der Vorlesung, ich weiss, was ein Runge-Kutta-Verfahren ist
(Einschrittverfahren zur Lösung der Anfangswertprobleme)
Also aus dem Butchertableau könnte ich theoretisch die [mm] a_{i} [/mm] und [mm] c_{i} [/mm] als Vektor und die [mm] b_{ij} [/mm] in eine Matrix schreiben? Und dann die Gleichungen?
Das ist völliger Quatsch den ich erzähle oder?
Wäre sehr froh, wenn man mir die Schritte sagen könnte, die ich durchführen muss.
Danke und mfg :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 So 30.09.2012 | | Autor: | unibasel |
Nachtrag: Auf Wikipedia habe ich folgendes gelesen:
"Aus der Konsistenzbedingung (z.B. das Verfahren soll Ordnung 4 haben) ergeben sich Konsistenzgleichungen (engl. conditions) für die Koeffizienten des Runge-Kutta-Verfahrens. Die Gleichungen und ihre Anzahl können mit Hilfe von Taylorentwicklung oder der Theorie der Butcher-Bäume ermittelt werden."
Also Butcher-Baum wäre demfall das Butcher-Tableau oder?
Was ist einfacher? Mit Taylorentwicklung oder mit Butcher-Bäumen? Zweiteres kenne ich wohl fast nicht und ersteres wird schwierig...
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Hallo unibasel,
> Ein 3-stufiges Runge-Kutta-Verfahren sei gegeben durch das
> Butchertableau:
> 0 | 0 0 0
> [mm]a_{2}[/mm] | [mm]a_{2}[/mm] 0 0
> [mm]a_{3}[/mm] | [mm]a_{3}-b_{32}[/mm] | [mm]b_{32}[/mm] 0
> [mm]c_{1}[/mm] | [mm]c_{2}[/mm] | [mm]c_{3}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass dieses Verfahren die Konsistenzordnung 3
> hat, falls folgende, nichtlineare Gleichungen für die
> Parameter erfüllt sind:
> [mm]c_{1}+c_{2}+c_{3}=1[/mm]
> [mm]c_{2}a_{2}+c_{3}a_{3}=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]c_{2}a_{2}^{2}+c_{3}a_{3}^{2}=\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]c_{3}b_{32}a_{2}=\bruch{1}{6}[/mm]
> Finden Sie eine Lösung des GLeichungssystems und geben
> Sie die Inkrementfunktion des zugehörigen Verfahrens an.
> Jetzt meine Frage ist ganz allgemein, wie gehe ich bei
> dieser Aufgabe vor?
>
> Muss ich die Gleichungen in eine Matrix schrieben und dann
> das Gleichungssystem lösen?
> Oder was muss ich tun?
>
> Ich bin völlig verwirrt... Wir hatten das auch nicht in
> der Vorlesung, ich weiss, was ein Runge-Kutta-Verfahren
> ist
> (Einschrittverfahren zur Lösung der Anfangswertprobleme)
>
> Also aus dem Butchertableau könnte ich theoretisch die
> [mm]a_{i}[/mm] und [mm]c_{i}[/mm] als Vektor und die [mm]b_{ij}[/mm] in eine Matrix
> schreiben? Und dann die Gleichungen?
>
> Das ist völliger Quatsch den ich erzähle oder?
>
> Wäre sehr froh, wenn man mir die Schritte sagen könnte,
> die ich durchführen muss.
>
Schreibe Dir zunächst das Runge-Kutta-Verfahren auf,
das sich aus dem Butcher-Tableau ergibt.
Danach musst Du dieses Verfahren in eine Taylorreihe entwickeln,
um diese mit der exakten Lösung, die ebenfalls in eine Taylorreihe
zu entwicklen ist, vergleichen zu können.
> Danke und mfg :)
Gruss
MathePower
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