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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mo 24.11.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Man entwickle ein explizites Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 3 mit 3 Funktionsauswertungen pro Schritt. |
Also wenn ich das richtig verstanden habe, gilt es folgendes Gleichungssystem zu erfüllen:
[mm] O(h^3)=\bruch{y(x+h)-y(x)}{h}-\summe_{i=0}^{n}\gamma_ik_i(x,y(x),h) [/mm]
Dabei ist
[mm] k_n(x,y,h)=f(x+\alpha_nh, y+h\summe_{j=0}^{n-1}\beta_{nj}k_j(x,y,h))
[/mm]
Hier ist als Tip angegeben man solle z(x+h) und [mm] k_i(x,y,h) [/mm] nach h entwickeln. Mit z bin ich ja noch gut klargekommen bei Taylor aber bei [mm] k_i [/mm] soll man da wirklich Taylor im Mehrdimensionalen anwenden? Oder habe ich da was falsch verstanden?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Mo 24.11.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
ich fürchte du kommst um eine Taylorentwicklung von [mm] K_i [/mm] nach beiden Variablen nicht herum. Ich werde mal drüber nachdenken, ob es auch einfacher geht (denn die Herleitung der Runge-Kutta-Formeln ist immer ien ziemliches Durcheinander von Ableitunen) und melde mich morgen Abend wieder.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Di 25.11.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
das RKF dritter Ordnung lässt sich folgendermaßen herleiten:
y(x+h) = [mm] y+hf+\frac{h^2}{2}(f_x+f_yf)+\frac{h^3}{6}(f_{xx}+2f_{xy}f+f_xf_y+f_{yy}f+f_y^2f)+O(h^4)
[/mm]
(wobei ich rechts die Argumente weggelassen habe).
Nun setzt man:
[mm] K_1= [/mm] f(x; y)
[mm] K_2= f(x+ha_2; y+hb_{21}K_1) [/mm] = [mm] f+ha_2f_x+hb_{21}f_yf+h^2a_2^2f_{xx}+2h^2a_2b_{21}f_{xy}f+h^2b_{21}^2f_{yy}f^2+O(h^3)
[/mm]
[mm] K_3=f(x+ha_3; y+hb_{31}K_1+hb_{32}K_2)=f+ha_3f_x+hb_{31}f_yf+hb_{32}f_yf+h^2a_2b_{32}f_xf_y+h^2b_{21}b_{32}f_y^2f+O(h^3)
[/mm]
und: [mm] y(x+h)=y+h(g_1K_1+g_2K_2+g_3K_3)+O(h^4)
[/mm]
setzt man für [mm] K_i [/mm] die obigen Ausdrücke ein und vergleicht die Koeffizienten vor den einzelnen partiellen Ableitungen erhält man folgendes Gleichungssystem:
[mm] g_1+g_2+g_3=1
[/mm]
[mm] a_2g_2+a_3g_3=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] b_{21}g_2+b_{31}g_3+b_{32}g_3=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] a_2^2g_2=\frac{1}{6}
[/mm]
[mm] a_2b_{21}g_2=\frac{1}{6}
[/mm]
[mm] a_2b_{32}g_3=\frac{1}{6}
[/mm]
[mm] b_{21}^2g_2=\frac{1}{6}
[/mm]
[mm] b_{21}b_{32}g_3=\frac{1}{6}
[/mm]
Jede Lösung dieses Gleichungssystems legt ein Verfahren dritter Ordnung fest. Eine Lösung ist z.B.:
[mm] g_1=\frac{1}{6} [/mm]
[mm] g_2=\frac{4}{6} [/mm]
[mm] g_3=\frac{1}{6}
[/mm]
[mm] a_1=\frac{1}{2} [/mm]
[mm] a_2=1
[/mm]
[mm] b_{21}=\frac{1}{2} [/mm]
[mm] b_{31}=-1 [/mm]
[mm] b_{32}=2
[/mm]
die sog. "einfache Kutta-Regel".
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