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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:08 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Vielleicht mögen das Thema und der Betreff etwas seltsam zusammengehören. Aber die Aufgabe handelt von einer Rücktransformation in den Zeitbereich, dies soll mit einer Partialbruchzerlegung geschehen, und ich weiß überhaupt nicht, was das soll...
Die Funktion heißt:
[mm] Y(s)=P_0*\bruch{b}{s^2+a}\bruch{s}{s^2+\omega^2}
[/mm]
Ich dachte, ich wüsste, was eine Partialbruchzerlegung ist, aber hier habe ich keine Ahnung, was ich machen soll. Mir hat schon jemand was gesagt, dass ich die Nullstellen brauche, also beim ersten Bruch wäre das ja -a, beim zweiten eine komplexe Zahl, also [mm] \wurzel{-\omega^2}. [/mm] Aber dann?
Was mich dann noch verwirrt, ist Folgendes:
Die Funktion hängt ja von s ab, normalerweise transformiert man ja aber zwischen Zeit- und Frequenzbereich hin und her. Und die Aufgabestellung lautet folgendermaßen:
Führen Sie dazu eine Partailbruchzerlegung durch und benutezn Sie ausschließlich folgende Transformationsvorschriften:
[mm] sin(\omega*t) [/mm] <-> [mm] \bruch{\omega}{s^2+\omega^2}
[/mm]
[mm] cos(\omega*t) [/mm] <-> [mm] \bruch{s}{s^2+\omega^2}
[/mm]
[mm] e^{-at} [/mm] <-> [mm] \bruch{1}{s+a}
[/mm]
Und das hängt hier doch alles von [mm] \omega [/mm] und/oder t ab, oder muss ich das von rechts nach links lesen?
Naja, das Wichtigste wäre erstmal die Partialbruchzerlegung, dann hätte ich schon mal einen Anfang.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane,
> [mm]P_0*\bruch{b}{s+a}*\bruch{s}{s^2+\omega^2}=P_0*\bruch{A}{s+a}*\bruch{B}{s^2+\omega^2}=P_0*\bruch{A(s^2+\omega^2)+B(s+a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
Hinter dem 1. Gleichheitszeichen muß zwischen den Brüchen ein "+" stehen, aber das ist wohl nur'n Tippfehler, da es dahinter ja richtig weiter geht ...
Ich laß zur Vereinfachung mal das [mm] $P_0$ [/mm] weg, ist ja "nur" ein konstanter Faktor:
[mm]\bruch{b}{s+a}*\bruch{s}{s^2+\omega^2}=\bruch{A}{s+a}+\bruch{B}{s^2+\omega^2}=\bruch{A(s^2+\omega^2)+B(s+a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
Hier muss nun nach [mm] $s^2$, [/mm] s und Restgliedern sortiert werden:
[mm]\bruch{A(s^2+\omega^2)+B(s+a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
[mm]= \bruch{A*s^2+A*\omega^2+B*s+B*a}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
[mm]= \bruch{A*s^2+B*s+(A*\omega^2+B*a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
Wenn ich nun den Koeffizientenvergleich mache, erhalte ich:
[mm] $A*s^2 [/mm] = [mm] 0*s^2$ $\gdw$ [/mm] A = 0
$B*s = b*s$ [mm] $\gdw$ [/mm] B = b
[mm] $A*\omega^2+B*a [/mm] = 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] B*a = 0 [mm] $\gdw$ [/mm] B = 0 Widerspruch !!!
Irgendwie scheint hier wirklich der Wurm drinzustecken ...
Was mich auch noch etwas verwirrt, sind die Größen und entsprechenden Einheiten, die sich daraus ergeben müssten.
In der Aufgabenstellung bzw. den Transformationsvorschriften werden verschiedene Größen miteinander addiert, so daß da ziemlich merkwürdige Einheiten entstünden.
Vielleicht kannst Du mal die einzelnen Größen erläutern ...
Oder hat sich in Deine Fragestellung bereits der Fehlerteufel eingeschlichen?
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Loddar!
Danke schonmal für die Antwort!
[mm]P_0*\bruch{b}{s+a}*\bruch{s}{s^2+\omega^2}=P_0*\bruch{A}{s+a}*\bruch{B}{s^2+\omega^2}=P_0*\bruch{A(s^2+\omega^2)+B(s+a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
> Hinter dem 1. Gleichheitszeichen muß zwischen den Brüchen
> ein "+" stehen, aber das ist wohl nur'n Tippfehler, da es
> dahinter ja richtig weiter geht ...
Ja, das muss wohl einer gewesen sein...
> Ich laß zur Vereinfachung mal das [mm]P_0[/mm] weg, ist ja "nur" ein
> konstanter Faktor:
>
> [mm]\bruch{b}{s+a}*\bruch{s}{s^2+\omega^2}=\bruch{A}{s+a}+\bruch{B}{s^2+\omega^2}=\bruch{A(s^2+\omega^2)+B(s+a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
>
> Hier muss nun nach [mm]s^2[/mm], s und Restgliedern sortiert
> werden:
> [mm]\bruch{A(s^2+\omega^2)+B(s+a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
> [mm]= \bruch{A*s^2+A*\omega^2+B*s+B*a}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{A*s^2+B*s+(A*\omega^2+B*a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}[/mm]
>
>
> Wenn ich nun den Koeffizientenvergleich mache, erhalte
> ich:
> [mm]A*s^2 = 0*s^2[/mm] [mm]\gdw[/mm] A = 0
> [mm]B*s = b*s[/mm] [mm]\gdw[/mm] B = b
> [mm]A*\omega^2+B*a = 0[/mm] [mm]\gdw[/mm] B*a = 0 [mm]\gdw[/mm] B = 0 Widerspruch
> !!!
>
> Irgendwie scheint hier wirklich der Wurm drinzustecken
Ja, komisch. Und jetzt? Vielleicht muss man das anders machen, wenn man was komplexes dabei hat? Irgendwie hatte heute jemand so was gesagt, aber da ich da mit der Aufgabe noch gar nichts anfangen konnte, habe ich das natürlich auch nicht so wirklich verstanden. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Was mich auch noch etwas verwirrt, sind die Größen und
> entsprechenden Einheiten, die sich daraus ergeben
> müssten.
>
> In der Aufgabenstellung bzw. den
> Transformationsvorschriften werden verschiedene Größen
> miteinander addiert, so daß da ziemlich merkwürdige
> Einheiten entstünden.
>
>
> Vielleicht kannst Du mal die einzelnen Größen erläutern
Mmh, ich weiß nicht so ganz, was du meinst. Aber zu den Größen kann ich leider nicht viel sagen. Normalerweise transformiert man doch zwischen Zeit- und Frequenzbereich. Was hier das s zu suchen hat, weiß ich nicht.
> Oder hat sich in Deine Fragestellung bereits der
> Fehlerteufel eingeschlichen?
Nein, nicht das ist wüsste.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Di 21.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Lieber Loddar, liebe Christiane
Bei der Partialbruchzerlegung müssen die Summanden, wo im Nenner die Variable im Quadrat vorkommt (also die Forn [mm] $x^2+\lambda^2$), [/mm] so angesetzt werden:
[mm] $\bruch{Ax+B}{x^2+\lambda^2}$
[/mm]
Nicht einfach [mm] $\bruch{A}{x^2+\lambda^2}$
[/mm]
Dann wird dein Ansatz zu (ich lasse das [mm] $P_0$ [/mm] auch mal weg):
[mm] $\bruch{bs}{(s+a)(s^2+\omega^2)}=\bruch{A}{s+a}+\bruch{Bs+C}{S^2+\omega^2}$
[/mm]
Dann gibt der Koeffizientenvergleich:
$A+B=0_$
$aB+C=b_$
[mm] $\omega^2A+aC=0$
[/mm]
Sollte ich mich nicht verrechnet haben, ergäbe das dann:
[mm] $A=-\bruch{ab}{a^2+\omega^2}$
[/mm]
[mm] $B=\bruch{ab}{a^2+\omega^2}$
[/mm]
[mm] $C=\bruch{b\omega^2}{a^2+\omega^2}$
[/mm]
und dann (?):
[mm] $P_0(-\bruch{ab}{a^2+\omega^2}e^{-at}+\bruch{ab}{a^2+\omega^2}\cos(\omega t)+\bruch{b\omega}{a^2+\omega^2}\sin(\omega [/mm] t))$
Ich weiss nicht, ob das weiterhilft. Ich kenne mich leider mit den Laplace-Transformationen (ist das überhaupt eine?) gar nicht aus!
Mit lieben Grüssen
Paul
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![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]"){kind=small}
