Rücksubstitution < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Di 06.07.2004 | | Autor: | rege04 |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Mahlzeit, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Muss ein Doppelintegral eines Dreiecks berechnen, komme aber mit der Rücksubstitution nicht voran.
Habe [mm] $\integral \integral x^p y^q\, [/mm] dxdy$
mein Prof hat die $x$- und $y$-Koordinaten in trilineare Koordinaten umgewandelt.
Kann mir jemand bitte erklären, wie man darauf kommt?
[mm] $x=\varepsilon x_{1}+\lambda x_{2}+ \delta x_{3}$
[/mm]
[mm] $y=\varepsilon y_{1}+\lambda y_{2}+ \delta y_{3}$
[/mm]
bei [mm] $\vektor{\varepsilon\\ \lambda \\ \delta} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$
[/mm]
dann erhält man:
[mm] $x=\varepsilon x_{1}+\lambda x_{2}+ [/mm] (1 - [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \lambda) x_{3}$
[/mm]
[mm] $y=\varepsilon y_{1}+\lambda y_{2}+ [/mm] (1 - [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \lambda) y_{3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (x_{1} [/mm] - [mm] x_{3}) \varepsilon [/mm] + [mm] (x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}) \lambda [/mm] = x - [mm] x_{3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (y_{1} [/mm] - [mm] y_{3}) \varepsilon [/mm] + [mm] (y_{2} [/mm] - [mm] y_{3}) \lambda [/mm] = y - [mm] y_{3}$
[/mm]
die Koordinatendeterminante muss [mm] $\not [/mm] = 0$ sein:
[mm] $\Delta [/mm] = [mm] (x_{1} -x_{3} )(y_{2} -y_{3} [/mm] ) - [mm] (x_{2} -x_{3})(y_{1} [/mm] - [mm] y_{3})$
[/mm]
Somit ist die Lsg. des Gleichungssystems:
[mm] $\varepsilon=((y_{2}-y_{3})x [/mm] - [mm] (x_{2}-x_{3})y [/mm] + [mm] x_{2}y_{3} [/mm] - [mm] x_{3}y_{2})/\Delta$
[/mm]
und
[mm] $\lambda=((y_{3}-y_{1})x [/mm] - [mm] (x_{3}-x_{1})y [/mm] + [mm] x_{3}y_{1} [/mm] - [mm] x_{1}y_{3})/\Delta$
[/mm]
Und wie substituiert man dies jetzt alles, dass man das Flächenintegral berechnen kann????
Ich danke euch scho ma.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Fr 09.07.2004 | | Autor: | rege04 |
Hallo jlius
Danke für deine Antwort.
aber was mir unklar ist, was ist mit dem Skalarprodukt von [mm] S_{\varepsilon} \times S_{\lambad} [/mm] gemeint?
Ich habe es nach gut denken erst mal so probiert:
[mm] \integral \integral \varepsilon^{p} \lambda^{q} d\varepsilon d\lambda
[/mm]
nach innerer und äußerer Ableitung dann:
[mm] \bruch{1}{(p+1)(q+1)}\varepsilon^{p+1} \lambda^{q+1}
[/mm]
dann zurücktransformiert
für [mm] \varepsilon [/mm] den x-wert und für [mm] \lambda [/mm] den y-wert eingesetzt.
ist mein Weg total falsch oder ansatzweise richtig
danke schon mal für deine Hilfe
gruß rege04
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Chris!
Dein Weg ist leider nicht richtig.
> aber was mir unklar ist, was ist mit dem Skalarprodukt von
> [mm]S_{\varepsilon} \times S_{\lambda}[/mm] gemeint?
Die ist das Vektorprodukt (auch: Kreuzprodukt) der beiden Vektoren, die durch Ableiten der Parametrisierungsabbildung nach [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] entstehen.
Schreibe dir jetzt erst mal die Parametrisierung des Dreiecks genau hin und leite ab. Dann schauen wir weiter.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Sa 10.07.2004 | | Autor: | rege04 |
Hallo julius
vielleicht sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber ich verstehe nicht, was du meinst, soll ich jetzt die einzelnen Koordinaten [mm] (\varepsilon [/mm] und [mm] \lambda) [/mm] erst mal einzeln ableiten( nach [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \lambda?) [/mm] und dann daraus das Kreuzprodukt daraus erstellen?
wenn ich das mache bekomme ich doch
[mm] \to \bruch{1}{p+1}\varepsilon^{p+1} [/mm] und
[mm] \to \bruch{1}{q+1}\lambda^{q+1}
[/mm]
und daraus jetzt das Skalarprodukt oder erst umwandeln in x und y und dann das Skalarprodukt?
Sorry bin nicht grad der hellste darin.
gruß chris
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Hallo,
ich habe zwar keine komplette Antwort auf deine Frage, aber mal kurz dazu, was mit dem [mm]S_{\varepsilon} \times S_{\lambda}[/mm] gemeint ist. Das heisst, du musst S nach [mm]\varepsilon[/mm] ableiten und mit dem diesem das Kreuzprodukt mit der Ableitung von S nach [mm]\lambda[/mm] bilden. Also erst die beiden jeweils einzeln nach der entsprechenden Variable ableiten und dann das Kreuzprodukt bilden. Unter Skalarprodukt versteht man, nicht das was du meinst, das Skalarprodukt von 2 Vektoren ergibt eine Zahl (Zahlen werden auch Skalare genannt). Das Kreuzprodukt ergibt einen Vektor. Ich hoffe, ich konnte dir wenigstens ein bischen Helfen. MfG Magician.
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