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Forum "Schul-Analysis" - Rotationsvolumen(Y-Achse)
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Rotationsvolumen(Y-Achse): Frage:Schreibweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Mo 09.01.2006
Autor: Phoney

Aufgabe
Der Graph der Funktion f mit f(x) =  [mm] \bruch{1}{4}x^2+1 [/mm] begrenzt mit der y.Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=2 und y=3 eine Fläche, die um die y-Achse rotiert. Bestimmen Sie das Volumen V des entstehenden Rotationskörpers.

Hallo.

In den folgenden Zeilen gehts mir um die Schreibweise, das Ergebnis scheint mir richtig zu sein.

Also zunächst einmal muss man die Umkehrfunktion von f(x) bilden.

f(x) =  [mm] \bruch{1}{4}x^2+1 [/mm]
[mm] y=\bruch{1}{4}x^2+1 [/mm]

[mm] x=\bruch{1}{4}y^2+1 [/mm] // nach y umgestellt

[mm] y^2 [/mm] = 4x-4

Und nun das Volumen berechnen mit

V =  [mm] \pi \integral_{2}^{3} y^2 [/mm] dy
V = [mm] \pi \integral_{2}^{3} [/mm] 4y-4 dy

Nun die Frage, darf man das so schreiben? Ist das eine offizielle Schreibweise?

[mm] =6\pi [/mm] (Nebensächlich)


Grüße Phoney

        
Bezug
Rotationsvolumen(Y-Achse): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mo 09.01.2006
Autor: Stefan

Hallo Phoney!

Warum zweifelst du? Weil du am Schluss "statt $x$" wieder $y$ schreibst?

Das ist völlig egal. Wichtig ist nur, dass die Variable beim Integranden und beim Differential identisch ist.

Kleine Anmerkung: Ich würde den Integranden bei Summen und Differenzen immer in Klammern schreiben, ansonsten ist alles bestens. :-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
        
Bezug
Rotationsvolumen(Y-Achse): ... nicht ganz egal!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Mo 09.01.2006
Autor: dominik

Hallo Phoney

> In den folgenden Zeilen gehts mir um die Schreibweise, das
> Ergebnis scheint mir richtig zu sein.
>  
> Also zunächst einmal muss man die Umkehrfunktion von f(x)
> bilden.
>
> f(x) =  [mm]\bruch{1}{4}x^2+1[/mm]
>  [mm]y=\bruch{1}{4}x^2+1[/mm]
>  
> [mm]x=\bruch{1}{4}y^2+1[/mm] // nach y umgestellt
>  
> [mm]y^2[/mm] = 4x-4
>  
> Und nun das Volumen berechnen mit
>
> V =  [mm]\pi \integral_{2}^{3} y^2[/mm] dy

Es muss heissen:
[mm] $V=\pi \integral_{2}^{3} x^2 [/mm] dy$
[mm] $4y-4=x^2$ [/mm] und nicht [mm] $y^2$ [/mm]

>  V = [mm]\pi \integral_{2}^{3}[/mm] 4y-4 dy

Das ist wieder in Ordnung

Viele Grüsse
dominik  


Bezug
                
Bezug
Rotationsvolumen(Y-Achse): Doch egal
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Mo 09.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Doch, das war schon richtig so, da er ja vorher die Variablen vertauscht hat.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Rotationsvolumen(Y-Achse): noch einmal ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Mo 09.01.2006
Autor: dominik

Also noch einmal:
[mm] \integral {y^2 dy}\not=\integral{(4y-4)}dy [/mm]
weil nicht [mm] $y^2$ [/mm] gleich $4y-4$ ist, sondern [mm] $x^2$ [/mm] gleich $4y-4$ ist.
$ [mm] \integral {y^2 dy}= \br {y^3}{3}+C$ [/mm]
[mm] $\integral{(4y-4)}dy=2y^2-4y+C$ [/mm]

Vergleiche: Man schreibt:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx}= \integral_{a}^{b}{y\ dx}$ [/mm]
und setzt für $f(x)=y$ die Funktionsgleichung ein, die x als unabhängige Variable enthält, und:
$ [mm] \integral_{c}^{d}{g(y)dy}=\integral_{c}^{d}{x\ dy}$ [/mm]
und setzt hier für  $g(y)=x$ die Funktionsgleichung ein, die y enthält.

Und genau das wollte Phoney doch wissen!
Viele Grüsse
dominik

Bezug
                                
Bezug
Rotationsvolumen(Y-Achse): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 Mo 09.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Das war Unsinn...

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                                        
Bezug
Rotationsvolumen(Y-Achse): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Di 10.01.2006
Autor: dominik

Hallo Stephan!

>   [mm]\integral {y^2 dy}\not= \integral{(4y-4)}dy[/mm]
>  
> Hier kann durchaus ein Gleichheitszeichen stehen, wenn man
> -wie in diesem Fall- bestimmte Integrale hat und keine
> unbestimmten.

Dies hat doch damit nichts zu tun!
Schau doch mal:
[mm] $\integral_{2}^{3} {y^2 dy}=\br {1}{3}[y^3]_{2}^{3} =\br {1}{3}(3^3-2^3)=\br {1}{3}(27-8)=\br [/mm] {19}{3}$

[mm] $\integral_{2}^{3}{(4y-4)}dy=[2y^2-4y]_{2}^{3}=18-12-(8-8)=4$ [/mm]


> Es war also alles richtig.

> Wie man dann die Integrationvariable nennt, ist und bleibt einfach egal.

Viele Grüsse!
dominik

Bezug
                                                
Bezug
Rotationsvolumen(Y-Achse): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Di 10.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Okay, sorry, jetzt habe ich dein Problem erst verstanden.

Ja, da hast du natürlich Recht!!

[sorry]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
        
Bezug
Rotationsvolumen(Y-Achse): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Mo 09.01.2006
Autor: Phoney

Hallo.
Okay, danke.
Genau das wollte ich wissen.

Grüße Phoney

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