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| Aufgabe | Die Funktion f unf g sind gegeben durch f(x) = 1/4 [mm] x^2 [/mm] und g (x) = 2 wurzel (x)
a.) berechne den inhalt der von den graphen von f und g eingeschlossenen Fläche.
b.) Berechne das volumen des entstehenden Rotationskörpers bei der Rotation der fläche
2. und die 1. Achse |
Dei der a muss man ja einfach die beiden gleichsetzen und dann integrieren und bei der b ?
HILFE !!!!!!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> Die Funktion f unf g sind gegeben durch f(x) = 1/4 [mm]x^2[/mm] und
> g (x) = 2 wurzel (x)
>
> a.) berechne den inhalt der von den graphen von f und g
> eingeschlossenen Fläche.
>
> b.) Berechne das volumen des entstehenden Rotationskörpers
> bei der Rotation der fläche
> 2. und die 1. Achse
> Dei der a muss man ja einfach die beiden gleichsetzen und
> dann integrieren und bei der b ?
Vielleicht meinst du das Richtige, aber das könnte aus dieser Frage/Aussage keiner sehen. Du setzt die Funktionen gleich, um die Schnittpunkte zu erhalten, damit du überhaupt weißt, in welchem Intervall du dann zu integrieren hast.
Du musst also die Gleichung $f(x) = g(x)$ nach $x$ auflösen. Dann bildest du die Differenzfunktion
$d(x) = f(x) - g(x)$
welche praktisch an jeder Stelle x den Abstand zwischen f und g angibt. Diese musst du dann über die oben berechneten Intervallgrenzen (Schnittstellen) integrieren. Es kann sein, dass dabei ein negativer Wert herauskommt, wenn in diesem Intervall $f(x) < g(x)$ gilt, dann musst du ihn positiv machen (mit (-1) multiplizieren), weil ja eine "Fläche" gesucht ist.
Zu b)
Hier darfst du nicht einfach die Differenzfunktion d(x) benutzen und die um die Achsen rotieren lassen.
Berechne erst, welches Volumen ein Rotationskörper von f(x) im oben berechneten Intervall hat, und dann das vom Rotationskörper von g(x) im Intervall. Ziehe diese voneinander ab.
Wie man das Volumen von Rotationskörpern berechnet, kannst du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen; ansonsten bitte eigene Lösungsansätze und/oder konkrete Fragen stellen, was du nicht verstehst.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
ja das hab ich gemeint, aber das mit d (x) = f (x) - g(x) hab ich jetzt nicht verstanden was damit gemeint ist!
ich rechne es einfach mal :
also
f (x) = g(x)
1/4 [mm] x^2 [/mm] = 2 wurzel (x)
1/4 [mm] x^2 [/mm] - 2 x ^(1/2) = o
???
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wenn ich jetzt bei der a die beiden funktionen gelcihsetze kommt erst mal das raus
1/4 [mm] x^2 [/mm] = 2 x^(1/2) = 0
komm jetzt irgendwie nicht weiter, die ^(1/2) verwirren mich
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> wenn ich jetzt bei der a die beiden funktionen gelcihsetze
> kommt erst mal das raus
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> 1/4 [mm]x^2[/mm] = 2 x^(1/2) = 0
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> komm jetzt irgendwie nicht weiter, die ^(1/2) verwirren
> mich
Hallo!
Das muss dich nicht verwirren 
Dein obiger Ansatz war schon okay:
[mm]\bruch{1}{4}*x^{2} = 2*x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
[mm]\gdw x^{2} = 8*x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
[mm]\gdw x^{2} - 8*x^{\bruch{1}{2}} = 0[/mm]
Und nun können wir ausklammern:
[mm]\gdw x^{\bruch{1}{2}}\left(x^{\bruch{3}{2}} - 8\right) = 0[/mm]
Schau dir dazu die Potenzgesetze an, wenn du das nicht verstehst. Überprüfe, ob beim wieder ausmultiplizieren dasselbe herauskommt!
Und nun hast du ein Produkt aus zwei Faktoren, das 0 werden soll. Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird... Wie lauten also die beiden Lösungen für x der Gleichung?
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Zur Flächenberechnen: Vergiss am besten das mit der Differenzfunktion erstmal wieder:
Das Bild hab ich von der Seite
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn man die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen will, muss man sich überlegen, wie man das tun könnte. Eine Möglichkeit ist im obigen Bild dargestellt: Ich könnte erst die gesamte Fläche unter der "oberen" Funktion berechnen und dann die Fläche abziehen, die unter der "unteren" Funktion liegt.
Wenn man das jetzt mal mathematisch formuliert, erhält man für die "obere" Funktion f(x) und die "untere" Funktion g(x):
$Flaeche = [mm] \integral_{Schnittpunkt1}^{Schnittpunkt2}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{Schnittpunkt1}^{Schnittpunkt2}{g(x) dx}$
[/mm]
So kannst du die Fläche zwischen den Graphen berechnen. Wenn die Integrale die gleichen Grenzen haben und nach derselben Variable (hier x) integriert wird, darf man die Integranden (die Funktionen im Integral) auch in ein Integral schreiben:
$Flaeche = [mm] \integral_{Schnittpunkt1}^{Schnittpunkt2}{f(x) - g(x) dx}.
[/mm]
So berechnest du die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen. Du musst jetzt bei dir gucken, ob f(x) zwischen den zwei Schnittpunkten über g(x) liegt oder umgekehrt und dann entsprechend den Flächeninhalt mit obiger Formel berechnen.
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
sooo, hab jetzt die schnittstellen durch Polynomendivision, Ausklammern.... herausgefunden
x1 = 0
hab zunächst ausgeklammer eine nullstelle herausgefunden x=0 herausgefunden
dann habe ich diepolynomendivision gemacht
1/4 [mm] x^3 [/mm] - 2 : (x-2) = 1/4 [mm] x^2 [/mm] - 1/2 x +1
dann : 1/4
0 = [mm] x^2 [/mm] - 2x +4
dann pq formel
doch unter der klammer kommt was negatives raus, also geht es nicht weiter.
stimmt das? gibt es nur eine nullstelle bei 0 ?
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ahhh...ok danke!
ja das mit dem Flächeninhalt ist mir glaub ich klar!
und die schnittpunkte sind 0 und 4 aber was hab ich bei meinem versuch falsch gemacht, ich hab nur 0 rausbekommen?
und jetzt kann ich integrieren:
dann kommt bei mir - 16/3 raus das dann also mal -1
= 16/3
stimmt das?
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> ahhh...ok danke!
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> ja das mit dem Flächeninhalt ist mir glaub ich klar!
>
> und die schnittpunkte sind 0 und 4 aber was hab ich bei
> meinem versuch falsch gemacht, ich hab nur 0 rausbekommen?
Hallo!
Ähem...
Dein Versuch scheint mir ein wenig schleierhaft, d.h. ich weiß nicht was du dort gerechnet hast um dein erstes geschriebenes Zwischenergebnis zu erhalten. Ich vermute, du hast auf beiden Seiten quadriert, dich aber dann verrechnet.
Du erhältst nämlich nach quadrieren (was fürs Lösen der Gleichung auch möglich ist!)
[mm] \left(\bruch{1}{4}*x^{2}\right)^{2} [/mm] = [mm] \left(2*\sqrt{x}\right)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{16}*x^{4} [/mm] = 4*x
[mm] \gdw x^{4} [/mm] = 64*x
[mm] \gdw x^{4} [/mm] - 64*x = 0
[mm] \gdw x*(x^{3} [/mm] - 64) = 0
...
Vielleicht ist dieser Lösungsweg auch ein wenig intuitiver, weil man ja keine Wurzeln haben will und deswegen am Anfang gleich quadrieren ^^
> und jetzt kann ich integrieren:
>
> dann kommt bei mir - 16/3 raus das dann also mal -1
>
> = 16/3
>
> stimmt das?
Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
ja, hab den fehler gefunden, vielen dank!
gut die b hab ich auch gemacht.. habs jetzt verstanden
:)
danke
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