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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mo 27.10.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe das Dreieck in zwei Normalbereiche eingeteilt: [mm] A_1 [/mm] für das Dreieck über [mm] 0\le{x}\le1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] für das Dreieck über [mm] 1\le{x}\le2.
[/mm]
Parametrisierung von [mm] A_1: \omega \vektor{r \\ \phi \\ z}=\vektor{r*cos\phi \\r*sin\phi \\ z}; [/mm]
[mm] 0\le{r}\le1,
[/mm]
[mm] 0\le{\phi}\le2\pi, [/mm]
[mm] 0\le{z}\le{r}
[/mm]
-> [mm] A_1=\integral_{r=0}^{1}\integral_{\phi=0}^{2\pi}\integral_{z=0}^{r}{r d(z,\phi,r)}=\frac{2}{3}\pi
[/mm]
Ist der Rechenweg soweit richtig? Denn [mm] A_2 [/mm] mit der Parametrisierung
[mm] 1\le{r}\le2,
[/mm]
[mm] 0\le{\phi}\le2\pi, [/mm]
[mm] 0\le{z}\le{-r+2}
[/mm]
bekomme ich einen negatives Volumen von [mm] -3\frac{1}{3}\pi.
[/mm]
Wo liegt der Fehler? Oder muss ich nur die orientierten Volumina addieren?
Besten Dank für eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Mi 29.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich habe das Dreieck in zwei Normalbereiche eingeteilt:
> [mm]A_1[/mm] für das Dreieck über [mm]0\le{x}\le1[/mm] und [mm]A_2[/mm] für das
> Dreieck über [mm]1\le{x}\le2.[/mm]
>
> Parametrisierung von [mm]A_1: \omega \vektor{r \\ \phi \\ z}=\vektor{r*cos\phi \\r*sin\phi \\ z};[/mm]
> [mm]0\le{r}\le1,[/mm]
> [mm]0\le{\phi}\le2\pi,[/mm]
> [mm]0\le{z}\le{r}[/mm]
>
> ->
> [mm]A_1=\integral_{r=0}^{1}\integral_{\phi=0}^{2\pi}\integral_{z=0}^{r}{r d(z,\phi,r)}=\frac{2}{3}\pi[/mm]
>
> Ist der Rechenweg soweit richtig? Denn [mm]A_2[/mm] mit der
> Parametrisierung
> [mm]1\le{r}\le2,[/mm]
> [mm]0\le{\phi}\le2\pi,[/mm]
> [mm]0\le{z}\le{-r+2}[/mm]
> bekomme ich einen negatives Volumen von [mm]-3\frac{1}{3}\pi.[/mm]
Das Volumen ist sicher positiv. Schreibe deinen Weg auf, dann kann dir einer von uns sagen, wo der Fehler liegt.
Viele Grüße
Rainer
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Wenn ihr schon beim Thema Schwerpunkt seid, wird
es dich vielleicht interessieren, dass es für die Lösung
der ersten Teilaufgabe eine sehr praktische Formel,
nämlich die ![[]](/images/popup.gif) zweite Guldinsche Regel gibt,
welche auf den Goldschmied, Mathematiker, Astronom
und Jesuiten Habakuk (später Paul) Guldin zurückgeht.
Nach dieser ist das Volumen von K:
V = [mm] F_{Dreieck}*(Weg [/mm] des Schwerpunkts des Dreiecks [mm] )=1*2\pi=2\pi
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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Für diesen Körper gibt es auch einen ganz einfachen
Weg zur Volumenberechnung mit der Volumenformel
für den Kegel. Den gesuchten "Vulkan" kann man sich
so entstanden denken: zuerst war da ein hoher kegel-
förmiger Berg (Radius 2km, Höhe 2km). In einer Eruption
wurde die kegelförmige Bergspitze abgesprengt und
gleichzeitig ein kegelförmiger Krater gebildet ... Rechne !
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Wie man das völlig ohne Integralrechnung hinbekommt, darüber hat Al-Chwarizmi schon geschrieben (übrigens schön als Vulkan veranschaulicht). Wenn du es mit Integralrechnung machst, so hast du als Integrationsbereich [mm]K[/mm] in einem kartesischen [mm]xyz[/mm]-Koordinatensystem die durch die Ungleichungen
[mm]0 \leq z \leq 1 \, , \ \ z^2 \leq x^2 + y^2 \leq (2-z)^2[/mm]
beschriebene Menge. Das Gesamtvolumen [mm]V[/mm] ist daher
[mm]V = \int \limits_K \mathrm{d}(x,y,z) = \int \limits_0^1 \int \limits_{z^2 \leq x^2 + y^2 \leq (2-z)^2} \mathrm{d}(x,y)~\mathrm{d}z[/mm]
Hier berechnet das innere Integral einen Kreisring mit [mm]2-z[/mm] als äußerem und [mm]z[/mm] als innerem Radius, hat also den Wert [mm]\pi \left( (2-z)^2 - z^2 \right) = 4 \pi (1-z)[/mm]. Es gilt daher:
[mm]V = 4 \pi \int \limits_0^1 (1-z)~\mathrm{d}z[/mm]
Das ist übrigens genau der Ausdruck, den du erhältst, wenn du die aus der Schule bekannte Formel für Rotationskörper verwendest.
Willst du in der [mm]xy[/mm]-Ebene unbedingt Polarkoordinaten einführen:
[mm]x = r \cos \varphi \, , \ \ y = r \sin \varphi[/mm]
dann liefert die zweite Ungleichung oben: [mm]z \leq r \leq 2-z[/mm]. Du mußt daher über alle [mm](z,r,\varphi)[/mm] integrieren mit
[mm]0 \leq z \leq 1 \, , \ \ z \leq r \leq 2-z \, , \ \ 0 \leq \varphi \leq 2 \pi[/mm]
Du bekommst so:
[mm]V = \int \limits_0^1 \int \limits_z^{2-z} \int \limits_0^{2 \pi} r~\mathrm{d}\varphi~\mathrm{d}r~\mathrm{d}z[/mm]
Wie auch immer du es anstellst, du bekommst das Ergebnis von Al-Chwarizmi nach der Guldinschen Regel.
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