Rotationskörper um x-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Do 24.07.2008 | | Autor: | jakob99 |
| Aufgabe | | Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der ensteht, wenn der Graph von sin [mm] :[0,\pi]\to \IR [/mm] um die x-Achse rotiert. |
Hallo,
ich habe folgendes Problem.
Die Formel lautet V= [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] V= [mm] \pi \integral_{0}^{\pi}{(sin x)^2 dx}
[/mm]
Jetzt mein Problem:
Ich bekomme es einfach nicht hin, die Stammfunktion von [mm] sin^2 [/mm] (x) zu bilden.
Ich muss doch die partielle Integration benutzen, oder?
Die verstehe ich aber überhaupt nicht.
Wäre super, es könnte mir jemand erklären.
vielen Dank,
Jakob
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> Jetzt mein Problem:
> Ich bekomme es einfach nicht hin, die Stammfunktion von
> [mm]sin^2[/mm] (x) zu bilden.
>
> Ich muss doch die partielle Integration benutzen, oder?
> Die verstehe ich aber überhaupt nicht.
Hallo,
ja, mit partieller Integration kommst Du zum Ziel.
Ich nehme an und hoffe sehr, daß Du schon ein bißchen etwas über partielle Integration nachgelesen hast, ![[]](/images/popup.gif) hier findest Du's auch, (Herleitung, Beispiel, Methoden angucken bzw. durcharbeiten (!).)
Zu Deinem Beispiel:
setze u=sinx, v'=sin x,
bestimme u' und v (also eine Stammfunktion zu v'), und wende das, was geschrieben steht, an.
Wenn Du das getan hast, zeig mal, wie es nun aussieht. Du bist dann nah am Ziell, es kommt noch ein kl. Trick, den sagen wir Dir dann. (Es ist dafür nützlich zu wissen, daß cos²+sin²=1 gilt)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 24.07.2008 | | Autor: | jakob99 |
O.K. ich versuche mal wie weit ich komme:
[mm] \integral u'*v=u*v-\integral [/mm] u*v'
in nehme:
u'=sinx und v=sinx
[mm] \Rightarrow -cosx*sinx-\integral [/mm] -cosx*cosx
weiter weiß ich nicht....
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Hallo!
Bis hier sieht es ja richtig gut aus!
Du musst nur noch berücksichtigen, dass [mm] cos^2(x)=1-sin^2(x) [/mm] gilt.
So steht dann:
[mm] \integral{sin^2(x)dx}=-cos(x)*sin(x)+\integral{1-sin^2(x)dx}
[/mm]
[mm] =\integral{sin^2(x)dx}=-cos(x)*sin(x)+\integral{1dx}-\integral{sin^2(x)dx}
[/mm]
[mm] =2*\integral{sin^2(x)dx}=-cos(x)*sin(x)+\integral{1dx}
[/mm]
Jetz fehlen dir nur mehr 2 kleine Schritte zur Berechnung der Stammfunktion.Schaffst du es jetzt?
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Do 24.07.2008 | | Autor: | jakob99 |
> Hallo!
>
> Bis hier sieht es ja richtig gut aus!
> Du musst nur noch berücksichtigen, dass
> [mm]cos^2(x)=1-sin^2(x)[/mm] gilt.
>
> So steht dann:
>
> [mm]\integral{sin^2(x)dx}=-cos(x)*sin(x)+\integral{1-sin^2(x)dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral{sin^2(x)dx}=-cos(x)*sin(x)+\integral{1dx}-\integral{sin^2(x)dx}[/mm]
Hier hast du einfach auf beiden Seiten, da es ja eine Gleichung ist, [mm] +\integral{sin^2(x)dx} [/mm] gerechnet und so hast du erhalten [mm] 2*\integral{sin^2(x)dx}
[/mm]
Richtig?
>
> [mm]=2*\integral{sin^2(x)dx}=-cos(x)*sin(x)+\integral{1dx}[/mm]
>
> Jetz fehlen dir nur mehr 2 kleine Schritte zur Berechnung
> der Stammfunktion.Schaffst du es jetzt?
Ich hoffe mal:
[mm] 2*\integral{sin^2(x)dx}=-cos(x)*sin(x)+x
[/mm]
Dann einfach geteilt durch 2
[mm] \Rightarrow \integral{sin^2(x)dx}=1/2(x-cos(x)*sin(x))
[/mm]
Korrekt?
>
>
> Gruß
>
> Angelika
>
Wenn ja, vielen vielen Dank für deine (bzw. eure) Mühen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Do 24.07.2008 | | Autor: | jakob99 |
Dann hätte ich noch weiter Fragen müssen....
Aber letztendlich hätte ich mich dann nochmal bedankt.
Einen schönen Tag noch,
Jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Do 24.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der ensteht,
> wenn der Graph von sin [mm]:[0,\pi]\to \IR[/mm] um die x-Achse
> rotiert.
> Hallo,
> ich habe folgendes Problem.
>
> Die Formel lautet V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] V= [mm]\pi \integral_{0}^{\pi}{(sin x)^2 dx}[/mm]
>
> Jetzt mein Problem:
> Ich bekomme es einfach nicht hin, die Stammfunktion von
> [mm]sin^2[/mm] (x) zu bilden.
>
> Ich muss doch die partielle Integration benutzen, oder?
Hallo,
wenn du die Additionstheoreme und speziell die Doppelwinkelformeln kennst, geht es ganz einfach.
Es ist cos(2x)=cos²x-sin²x, und wegen cos²x=1-sin²x wird daraus
cos(2x)=1-2sin²x. Umstellen nach sin²x liefert
[mm] sin²x=\bruch{1}{2}-\bruch{cos(2x)}{2}.
[/mm]
Das müsstest du problemlos integrieren können.
Gruß Abakus
> Die verstehe ich aber überhaupt nicht.
>
> Wäre super, es könnte mir jemand erklären.
>
> vielen Dank,
>
> Jakob
>
>
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Hallo!
Alternativ kommst du hier aber auch durch einfaches Umformen zum Ziel.
Nach den Additionstheoremen gilt:
[mm] sin^2(x)=\bruch{1-cos(2x)}{2}
[/mm]
Also löse einfach dieses Integral:
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{1dx}-\bruch{1}{2}*\integral{cos(2x)dx}
[/mm]
Als Stammfunktion erhälst du so [mm] \bruch{x}{2}-\bruch{sin(2x)}{4}+C
[/mm]
was du mit der Beziehung sin(2x)=2sin(x)*cos(x) ohne weiteres nach:
[mm] \bruch{x}{2}-\bruch{sin(x)*cos(x)}{2}+C [/mm] umformen kannst,
Gruß
Angelika
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