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| Aufgabe | Durch Rotation der Flächen um die x-Achse entstehen Drehkörper. Bestimmen sie jeweils das Volumen des Drehkörpers durch Integration.
a) Beweisen oder widerlegen sie, dass folgendes gilt:
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)-g(x)^2) dx} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm] - [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{(g(x))^2 dx} [/mm] |
Also, ich würde sagen, dass man das widerlegen muss.
Ich komme darauf, weil es verschiedene Lösungen bei der Aufgabe gibt.
Und wenn ich nun die erste Variante nehme kommt bei beiden Figuren das selbe raus, was allerdings nicht sein kann, da man sieht, dass der Körper im zweiten Koordinatensystem größer sein muss. Also müsste die zweite Form gelten, aber wie beweise ich das nun?
Die Graphen kann ich ja mal wieder nicht zeichnen... es sind insgesamt zwei Körper.
Beide im Intervall von 0 bis 2.
Der eine hat die Funktionen 1 und 2 und der andere die Funktionen zwei und drei. Also zwei Ringe, oder 2D zwei Rechtecke.
kann mir da jemand helfen?
Also, würde ich den ersten Weg wählen wärens bei beiden Körpern 2Pi beim zweiten Weg beim ersten 6Pi und beim zweiten 10Pi. Ich denke der zweite ist richtig.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 07.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
> [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{(f(x)-g(x)^2) dx}[/mm] = [mm]\pi[/mm] *
> [mm]\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm] - [mm]\pi[/mm] *
> [mm]\integral_{a}^{b}{(g(x))^2 dx}[/mm]
Sollte das nicht auch f(x)² im ersten Integral heißen? Wenn nicht, dann ist es in der Tat nicht das selbe. Wenn doch dann:
[mm]\pi*
\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}-\pi*\integral_{a}^{b}{(g(x))^2 dx}
=\pi*(\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}-\integral_{a}^{b}{(g(x))^2 dx})
=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x)²-g(x)^2) dx}[/mm]
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Hupsi.. vertippt...
so sollte es sein:
[mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)-g(x))^2 dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 07.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Achso :) Nein,d as ist nicht das gleiche, da (f(x)-g(x))² eine binomische Formel ist.
Also würde daraus werden:
[mm] \pi*\integral_{a}^{b}{f(x)²-2*f(x)*g(x)+g(x)² dx}
[/mm]
[mm] =\pi*\integral_{a}^{b}{f(x)² dx}-\pi*\integral_{a}^{b}{2*f(x)*g(x) dx}+\pi*\integral_{a}^{b}{g(x)² dx}
[/mm]
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