Rotationshyperboloid erzeugen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 07.03.2011 | | Autor: | leu89 |
| Aufgabe 1 | Eine Gerade geht durch den Punkt (1, 0, 0) und hat den Richtungsvektor (0, 1, 1). Lässt man sie um die z-Achse rotieren, so erzeugt sie eine Fläche (einschaliges Rotationshyperboloid).
Drehmatrix:
[mm] \pmat{ cos (\alpha) & -sin (\alpha) & 0 \\ sin (\alpha) & cos (\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
a) Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Fläche an. |
| Aufgabe 2 | | b) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Fläche. |
| Aufgabe 3 | | c) In welchen Punkten der Fläche ist der Normalenvektor parallel zur Richtung des Vektors (1, 1,−1) ? |
| Aufgabe 4 | | d) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes zwischen den Ebenen z = 0 und z = 2. |
Ich bräuchte Hilfe, und zwar habe ich Teilaufgabe a schon gelöst. und zwar habe ich folgendes erhalten:
Ich habe den Richtungsvektor mit der Drehmatrix multipliziert:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} \pmat{ cos (\alpha) & -sin (\alpha) & 0 \\ sin (\alpha) & cos (\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \vektor{-sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \\ 1}
[/mm]
Was mir dann folgende Gleichung für diese Fläche ergibt:
r (Der Vektorpfeil geht irgendwie nicht) = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] t\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{-sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \\ 1}
[/mm]
Wäre schon mal toll, wenn das jemand bestätigen könnte.
Was ich jetzt machen muss, ist dieses Gebilde implizit auszudrücken, um Teilaufgabe b zu lösen. Dort brauchi ich eure Hilfe... Bei c würde ich dann einfach den Gradienten der impliziten Gleichung nehmen, um so die normalen in allen Punkten zu erhalten. Und auf Teilaufgabe d komme ich dann evtl. noch zurück, wenn ich anderweitig keine Hilfe finde...
Also, hat mir jemand einen Tipp, wie ich diese Gleichung implizit schreiben kann?
Beste Grüsse und Danke erst einmal
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Eine Gerade geht durch den Punkt (1, 0, 0) und hat den
> Richtungsvektor (0, 1, 1). Lässt man sie um die z-Achse
> rotieren, so erzeugt sie eine Fläche (einschaliges
> Rotationshyperboloid).
>
> Drehmatrix:
> [mm]\pmat{ cos (\alpha) & -sin (\alpha) & 0 \\ sin (\alpha) & cos (\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> a) Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Fläche an.
>
> b) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Fläche.
>
> c) In welchen Punkten der Fläche ist der Normalenvektor
> parallel zur Richtung des Vektors (1, 1,−1) ?
>
> d) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes zwischen
> den Ebenen z = 0 und z = 2.
>
> Ich bräuchte Hilfe, und zwar habe ich Teilaufgabe a schon
> gelöst. und zwar habe ich folgendes erhalten:
>
> Ich habe den Richtungsvektor mit der Drehmatrix
> multipliziert:
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1} \pmat{ cos (\alpha) & -sin (\alpha) & 0 \\ sin (\alpha) & cos (\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> = [mm]\vektor{-sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \\ 1}[/mm]
Du müsstest aber nicht den Richtungsvektor drehen,
sondern die die Rotationsfläche erzeugende Gerade.
> Was mir dann folgende Gleichung für diese Fläche ergibt:
>
> r (Der Vektorpfeil geht irgendwie nicht) = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm]t\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{-sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \\ 1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Einen Vektorpfeil erhältst du entweder mittels [mm] \backslash{\text{vec}}\{r\} [/mm] oder
mittels [mm] \backslash{\text{overrightarrow}}\{r\}
[/mm]
> Wäre schon mal toll, wenn das jemand bestätigen könnte.
![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]") leider nicht ...
> Was ich jetzt machen muss, ist dieses Gebilde implizit
> auszudrücken, um Teilaufgabe b zu lösen. Dort brauch' ich
> eure Hilfe... Bei c würde ich dann einfach den Gradienten
> der impliziten Gleichung nehmen, um so die Normalen in
> allen Punkten zu erhalten. Und auf Teilaufgabe d komme ich
> dann evtl. noch zurück, wenn ich anderweitig keine Hilfe
> finde...
>
> Also, hat mir jemand einen Tipp, wie ich diese Gleichung
> implizit schreiben kann?
Zuerst müsstest du nun wohl eine korrekte Parameterdar-
stellung haben. Ein (beliebiger) Punkt auf der erzeugenden
Mantellinie hat die Koordinaten
[mm] $\pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1+t*0\\0+t*1\\0+t*1}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\t\\t}$
[/mm]
Unterwirf diesen Punkt der Drehung mit einem (beliebigen)
Winkel [mm] \alpha [/mm] , und du hast die gesuchte Parameterdarstellung.
Um daraus eine parameterfreie Gleichung für die Fläche
zu erhalten, wusst du schauen, wie du die Parameter t
und [mm] \alpha [/mm] aus den 3 Gleichungen für x, y und z eliminieren
kannst.
Kleiner Tipp zur Rechnerei:
Kürze [mm] sin(\alpha) [/mm] und [mm] cos(\alpha) [/mm] mit s und c ab !
Irgendwann kannst du dann die Gleichung [mm] s^2+c^2=1 [/mm] mit
großem Erfolg einsetzen !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Di 08.03.2011 | | Autor: | leu89 |
Juhu, ich glaube ich habe die Lösung...
Rotationskörper:
[mm] \pmat{x\\y\\z}\ [/mm] = [mm] \pmat{1\\t\\t} \pmat{ cos (\alpha) & -sin (\alpha) & 0 \\ sin (\alpha) & cos (\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{cos(\alpha) - t\cdot{}sin(\alpha)\\sin(\alpha)+t\cdot{}cos(\alpha)\\t}
[/mm]
Jetzt quadriere ich einfach die ersten 2 Zeilen:
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \left( cos(\alpha) - t\cdot{}sin(\alpha) \right)^2 [/mm] = [mm] cos^2(\alpha) [/mm] - [mm] 2t\cdot{}cos(\alpha)sin(\alpha) [/mm] + [mm] t^2\cdot{}sin^2(\alpha)
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] \left( sin(\alpha) + t\cdot{}cos(\alpha) \right)^2 [/mm] = [mm] sin^2(\alpha) [/mm] + [mm] 2t\cdot{}cos(\alpha)sin(\alpha) [/mm] + [mm] t^2\cdot{}cos^2(\alpha)
[/mm]
Die beiden Zeilen miteinander addieren:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 + [mm] t^2
[/mm]
Da [mm] t^2 [/mm] = [mm] z^2 [/mm] ist, dieses noch einsetzten, alles auf eine Seite rüberschieben, und fertig ist die implizite Darstellung:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] - 1 = 0
Vielen Dank für die Hilfe!! Falls etwas falsch ist, gerne korrigieren..
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> Juhu, ich glaube ich habe die Lösung...
>
> Rotationskörper:
>
> [mm]\pmat{x\\y\\z}\[/mm] = [mm]\pmat{1\\t\\t} \pmat{ cos (\alpha) & -sin (\alpha) & 0 \\ sin (\alpha) & cos (\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Da hast du im Produkt die Reihenfolge der Faktoren
vertauscht (so wie es da steht, ist das Produkt gar
nicht definiert !)
Das Ergebnis stimmt aber.
> = [mm]\pmat{cos(\alpha) - t\cdot{}sin(\alpha)\\sin(\alpha)+t\cdot{}cos(\alpha)\\t}[/mm]
>
> Jetzt quadriere ich einfach die ersten 2 Zeilen:
>
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\left( cos(\alpha) - t\cdot{}sin(\alpha) \right)^2[/mm] =
> [mm]cos^2(\alpha)[/mm] - [mm]2t\cdot{}cos(\alpha)sin(\alpha)[/mm] +
> [mm]t^2\cdot{}sin^2(\alpha)[/mm]
> [mm]y^2[/mm] = [mm]\left( sin(\alpha) + t\cdot{}cos(\alpha) \right)^2[/mm] =
> [mm]sin^2(\alpha)[/mm] + [mm]2t\cdot{}cos(\alpha)sin(\alpha)[/mm] +
> [mm]t^2\cdot{}cos^2(\alpha)[/mm]
>
> Die beiden Zeilen miteinander addieren:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1 + [mm]t^2[/mm]
>
> Da [mm]t^2[/mm] = [mm]z^2[/mm] ist, dieses noch einsetzten, alles auf eine
> Seite rüberschieben, und fertig ist die implizite
> Darstellung:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - [mm]z^2[/mm] - 1 = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank für die Hilfe!! Falls etwas falsch ist, gerne
> korrigieren..
schönen Rest vom Tag !
Al-Chw.
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