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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Di 17.01.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fläche des Rotationsellipsoids
$ [mm] M:=\{(x,y,z) \in \IR^3 \ : \ (\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2=1\} [/mm] \ \ \ a,b > 0. $ |
Hallo! Habe mich bei der Aufgabe an Wikipedia orientiert, genauer:
![[]](/images/popup.gif) [HIER]
Jetzt würde ich gern wissen ob mein Vorgehen bislang richtig ist.. dazu:
Zunächst habe ich [mm] (\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2-1=0 [/mm] nach z umgestellt und komme auf:
[mm] f(x,y)=\wurzel{ b^2-\bruch{x^2b^2}{a^2}-\bruch{y^2b^2}{a^2} } [/mm] mit ein paar Umformungen:
[mm] f(x,y)=\bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2-y^2}
[/mm]
Jetzt müsste ich doch, wie in dem Wikipedia-Artikel ein Integral bestimmen:
[mm] \integral \wurzel{a^2-x^2-y^2}
[/mm]
Wie integriere ich sowas denn? Habe ich noch nie gesehen.. funktioniert das ähnlich wie das partielle Ableiten? Mit Mathematica ja kein Problem, würde es nur gern nachvollziehen können.
Ist das bis hierhin denn erstmal die richtige Richtung?
Gruß & vielen Dank!
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Di 17.01.2012 | | Autor: | chesn |
sorry.. blödsinn.. klar weiss ich wie man das integriert. ^^
Gruß
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Di 17.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Also irgendwie komme ich zu keiner sinnvollen Lösung. Hat jemand einen Tipp wie ich da genau ran gehen kann?
Im Internet finde ich das ganze nur für Gleichungen der Form [mm] (\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{b})^2-1=0
[/mm]
Oder muss ich das erst in diese Form bringen? Steh leider sehr auf dem Schlauch.
Danke schonmal!!
Gruß
chesn
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Hallo chesn,
> Hallo!
>
> Also irgendwie komme ich zu keiner sinnvollen Lösung. Hat
> jemand einen Tipp wie ich da genau ran gehen kann?
> Im Internet finde ich das ganze nur für Gleichungen der
> Form [mm](\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{b})^2-1=0[/mm]
> Oder muss ich das erst in diese Form bringen? Steh leider
> sehr auf dem Schlauch.
Das in der Aufgabe gegebene Rotationsellipsoid
ensteht doch durch Drehung der Ellipse
[mm](\bruch{x}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2=1[/mm]
um die x-Achse.
>
> Danke schonmal!!
>
> Gruß
> chesn
Gruss
MathePower
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> Das in der Aufgabe gegebene Rotationsellipsoid
> ensteht doch durch Drehung der Ellipse
>
> [mm](\bruch{x}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2=1[/mm]
>
> um die x-Achse. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hallo MathePower und chesn,
das gegebene Ellipsoid ist:
$ [mm] M:=\{(x,y,z) \in \IR^3 \ : \ (\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2=1\} [/mm] \ \ \ a,b > 0. $
Seine Rotationsachse ist nicht die x-Achse, sondern
die z-Achse.
Durch geeignete Umbezeichnungen ist es natürlich
möglich, alles z.B. auf die Situation zurückzuführen,
wie sie etwa in Wikipedia behandelt wird.
Für die Integration gibt es zwei unterschiedliche
Fälle zu betrachten, je nachdem ob a<b oder a>b ist.
LG Al
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> Berechnen Sie die Fläche des Rotationsellipsoids
>
> [mm]M:=\{(x,y,z) \in \IR^3 \ : \ (\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2=1\} \ \ \ a,b > 0.[/mm]
Du kannst die Gleichung umstellen zu
[mm] M=\{(x,y,z): x^2+y^2=a^2*(1-\frac{z^2}{b^2})=:f(z)\}
[/mm]
Für die Mantelfläche gibt es dann die Formel
[mm] F=2\pi*\int_{-b}^bf(z)*\sqrt{1+f'(z)^2}\,dz
[/mm]
>
> Hallo! Habe mich bei der Aufgabe an Wikipedia orientiert,
> genauer:
>
Ihr habt doch bestimmt auch eine Vorlesung, wo entsprechende Formeln behandelt werden ...
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> > Berechnen Sie die Fläche des Rotationsellipsoids
> >
> > [mm]M:=\{(x,y,z) \in \IR^3 \ : \ (\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2=1\} \ \ \ a,b > 0.[/mm]
>
> Du kannst die Gleichung umstellen zu
> [mm]M=\{(x,y,z): x^2+y^2=a^2*(1-\frac{z^2}{b^2})=:f(z)\}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Für
> die Mantelfläche gibt es dann die Formel
> [mm]F=2\pi*\int_{-b}^b f(z)*\sqrt{1+f'(z)^2}\,dz[/mm]
f sollte jedoch definiert sein durch:
$\ f(z):=\ [mm] a*\sqrt{1-\frac{z^2}{b^2}}$
[/mm]
Für die Berechnung würden sich allenfalls Zylinderkoordinaten
empfehlen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 17.01.2012 | | Autor: | johnny23 |
Guten Abend!
Ich beschäftige mich seit einiger Zeit mit derselben Aufgabe im Zusammenhang mit der Integration auf Mannigfaltigkeiten. Leider habe ich trotz viel Recherche nicht verstehen können, wie die Prozedur, die wir in der Vorlesung vermittelt bekommen haben, funktioniert. Wie ich es verstanden habe ist erstmal grundsätzlich die Oberfläche berechenbar durch das Oberflächenintegral bzw der Integration auf einer Mannigfaltigkeit durch [mm] \integral_{a}^{b}{f(h(u))*\wurzel{g(u)}du} [/mm] wobei h(u) eine Parametrisierung der Mannigfaltigkeit ist und g(u) die Gramsche Determinante bzw die Determinante des Maßtensors (Skript, Inet, Wiki)
In den Beispielaufgaben ist immer eine Parametrisierung h(u) gegeben. Dann wird das Differential berechnet, der Maßtensor aufgestellt und die Gramsche Determinante berechnet. Schließlich wird ein Schritt übersprungen (wohl das Integrieren) und dann steht da schön der Flächeninhalt.
Wie muss ich nun was integrieren und was ist f ? Der letzte Schritt kann doch nicht so kompliziert sein.
Also der oder das Rotationsellipsoid lässt sich bekanntlich parametrisieren durch:
[mm] h(\gamma,\delta)=\pmat{ a*sin(\gamma)*cos(\delta) \\ b*sin(\gamma)*sin(\delta) \\ c*cos(\gamma) }
[/mm]
dann wäre der Maßtensor ein ziemlich großes Gebilde. Als Determinante erhalte ich dann vom CAS:
[mm] g(u)=detG=(b^4-a^2b^2)cos(\gamma)^3sin(\gamma)cos(\delta)sin(\delta)^3+(-b^4+2a^2b^2-a^4)cos(\gamma)^2sin(\gamma)^2cos(\delta)^2sin(\delta)^2+((a^2b^2-a^4)cos(\gamma)^3sin(\gamma)cos(\delta)^3+(b^2-a^2)c^2cos(\gamma)sin(\gamma)^3cos(\delta))sin(\delta)
[/mm]
Das kanns doch nicht sein oder doch?
Vielen Dank für Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Mi 18.01.2012 | | Autor: | chesn |
Beachte, dass a=b in der Parametrisierung.
Dass b aus der Aufgabe ist das c in der Parametrisierung.
Damit bekommt [mm] g_{12}=0 [/mm] im Maßtensor, wenn ich mich nicht irre.
Welche Parametrisierung hast du für h(u)?
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Mi 18.01.2012 | | Autor: | chesn |
Also ich komme mit dem was ich oben erwähnt habe und mit ein paar Klammern wegen [mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm] auf den Maßtensor: (hier ist b das b aus der Aufgabenstellung)
[mm] G=\pmat{a^2*cos^4(\gamma)+b^2*sin^2(\gamma) & 0 \\ 0 & a^2*sin^2(\gamma)}
[/mm]
und [mm] det(G)=(a^2*cos^4(\gamma)+b^2*sin^2(\gamma))*a^2*sin^2(\gamma)
[/mm]
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Mi 18.01.2012 | | Autor: | chesn |
$ [mm] G=\pmat{a^2\cdot{}cos^2(\gamma)+b^2\cdot{}sin^2(\gamma) & 0 \\ 0 & a^2\cdot{}sin^2(\gamma)} [/mm] $
so ists richtig.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:40 Mi 18.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Kann denn jemand einen Tipp geben, wie man f(h(u)) bestimmt in der Formel $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(h(u))\cdot{}\wurzel{g(u)}du} [/mm] $ ?? (siehe oben)
g(u) sollten wir ja jetzt haben...
Kommt man hiermit weiter?:
$ [mm] M=\{(x,y,z): x^2+y^2=a^2\cdot{}(1-\frac{z^2}{b^2})=:f(z)\} [/mm] $
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Mi 18.01.2012 | | Autor: | johnny23 |
Danke chesn.. ja klar gibt ja nur a und b in der Aufgabe! War schon spät. Also ich werde mich später nochmal dransetzen. muss jetzt in die uni.. bis später!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Do 19.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hat denn keiner eine Idee dazu?
Komme einfach nicht weiter..
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 21.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Soweit ich das jetzt verstanden habe (dank Al-Chwarizmi), ist folgendes zu berechnen:
$ [mm] \integral_0^{2\pi}{\integral_0^{2\pi}}d\sigma=\integral_0^{2\pi}{\integral_0^{2\pi}}\wurzel{Gram-Determinante} [/mm] \ \ [mm] d\gamma [/mm] \ \ [mm] d\delta [/mm] $
Ist das hier so auch richtig?
Lieben Gruß
chesn
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> Hallo!
>
> Soweit ich das jetzt verstanden habe (dank Al-Chwarizmi),
> ist folgendes zu berechnen:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi}{\integral_0^{2\pi}}d\sigma=\integral_0^{2\pi}{\integral_0^{2\pi}}\wurzel{Gram-Determinante} \ \ d\gamma \ \ d\delta[/mm]
>
> Ist das hier so auch richtig?
>
> Lieben Gruß
> chesn
Ich denke, ja - falls du von der Parameterdarstellung
ausgehst und dann die richtige Matrix bestimmst.
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:02 So 22.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Ich fasse nochmal kurz zusammen:
Das Rotationsellipsoid $ [mm] (\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2=1 [/mm] $
hat die Parametrisierung: $ [mm] h(\gamma,\delta)=\pmat{ a\cdot{}sin(\gamma)\cdot{}cos(\delta) \\ b\cdot{}sin(\gamma)\cdot{}sin(\delta) \\ c\cdot{}cos(\gamma) } [/mm] $
Damit komme ich auf den Maßtensor G:
$ [mm] G=\pmat{a^2\cdot{}cos^2(\gamma)+b^2\cdot{}sin^2(\gamma) & 0 \\ 0 & a^2\cdot{}sin^2(\gamma)} [/mm] $
und die Gramsche Determinante [mm] det(G)=(a^2*cos^2(\gamma)+b^2*sin^2(\gamma))*a^2*sin^2(\gamma) \Rightarrow \wurzel{det(G)}=a*sin(\gamma)*\wurzel{a^2*cos^2(\gamma)+b^2*sin^2(\gamma)}
[/mm]
Jetzt ist [mm] \integral{d\sigma}=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi} {a*sin(\gamma)*\wurzel{a^2*cos^2(\gamma)+b^2*sin^2(\gamma)} \ d\gamma \ d\delta}
[/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{2\pi}[{-\bruch{ab}{2\wurzel{a^2-b^2}}*(\wurzel{a^2-b^2}*cos(\gamma)*\wurzel{\bruch{a^2cos^2(\gamma)-b^2*cos^2(\gamma)+b^2}{b^2}}+b*ln(\wurzel{\bruch{(a^2-b^2)*cos^2(\gamma)}{b^2}+1}
+\bruch{\wurzel{(a^2-b^2)*cos(\gamma)}}{b}))]^{2\pi}_0 \ \ d\delta}$
[/mm]
Jetzt ist [mm] $cos(0)=cos(2\pi)=1$ [/mm] also würde das in den Integrationsgrenzen [mm] [\ldots]^{2\pi}_0 [/mm] null werden..
Kann ich [mm] [\ldots]^{2\pi}_0 [/mm] dann einfach umformen in [mm] 4*[\ldots]^{\bruch{\pi}{2}}_0 [/mm] ???
Dann käme ich auf:
[mm] 4*\integral_0^{2\pi}{\bruch{ab}{2\wurzel{a^2-b^2}}*(\wurzel{a^2-b^2}*\bruch{a}{b}+b*ln(\wurzel{\bruch{a^2-b^2}{b^2}+1}+\bruch{\wurzel{a^2-b^2}}{b})) \ \ d\delta}
[/mm]
[mm] A=4\pi*\bruch{ab}{\wurzel{a^2-b^2}}*(\wurzel{a^2-b^2}*\bruch{a}{b}+b*ln(\wurzel{\bruch{a^2-b^2}{b^2}+1}+\bruch{\wurzel{a^2-b^2}}{b}))
[/mm]
Passt das so??
Gruß
chesn
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> Das Rotationsellipsoid
> [mm](\bruch{x}{a})^2+(\bruch{y}{a})^2+(\bruch{z}{b})^2=1[/mm]
>
> hat die Parametrisierung: [mm]h(\gamma,\delta)=\pmat{ a\cdot{}sin(\gamma)\cdot{}cos(\delta) \\ b\cdot{}sin(\gamma)\cdot{}sin(\delta) \\ c\cdot{}cos(\gamma) }[/mm]
Nein. Richtig: [mm]h(\gamma,\delta)=\pmat{ a\cdot{}sin(\gamma)\cdot{}cos(\delta) \\ a\cdot{}sin(\gamma)\cdot{}sin(\delta) \\ b\cdot{}cos(\gamma) }[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 So 22.01.2012 | | Autor: | chesn |
Ja genau.. meinte ich eigentlich auch. :)
Sonst ist mein vorgehen aber ok?
Edit: [mm] \delta [/mm] läuft ja nur von 0 bis [mm] \pi [/mm] also ist das ergebnis minimal falsch. :]
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 So 22.01.2012 | | Autor: | johnny23 |
Hallo chesn,
ich erhalte für den Flächeninhalt [mm] A=2*\pi*a^2
[/mm]
Bei der Berechnung des großen Integrals heben sich große Teile weg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 24.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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