Rotation um Y-Achse < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Mi 02.02.2005 | | Autor: | tupcio |
Hallo!
Habe da noch ein weiteres Problem:
Die kubische Parabel mit f(x) = x*(x-1)², x [mm] \varepsilon[0;1] [/mm] rotiert um die 2. Achse. Der Rotationskörper ist weiterhin durch die ebenfalls um die 2. Achse rotierende 1. Achse begrenzt.
Berechne das Volumen.
Bin für jeden Tipp dankbar. Für eine komplette Antwort mit Lösungsweg würde ich sogar die Füße küssen! 
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 Do 03.02.2005 | | Autor: | zachi |
Sorry!Bin mir jetz nicht ganz sicher, aber ich glaub meine Antwot bezieht auf die Rotation um die x-Achse.Bist du sicher, dass der Graph um die y-Achse rotieren soll?Das scheint mir etwas kompliziert.Dazu bräuchte man nämlich die Umkehrfunktion und die is in diesem Fall net grad trivial.
MfG zachi
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Hallo, tupcio
die Umkehrfunktion ist hier wirklich nicht
so trivial, aber auch nicht notwendig
Statt als Volumselemente dV "Zylinderscheibchen",
also infinitesimal dünne Vollzylinder zu integrieren,
kann man auch infinitesimal dünne Holzylinder
variierender Höhe f(x),
dem Radius x und
der Wandstärke dx verwenden.
Die
zu Integrierenden dV sind dann [mm] $\text{dv = }x*\pi*f(x)*\text{dx}$
[/mm]
und
die Grenzen sind dann
eben x=0 (Schnitt mit yAchse)
und x=1 ( (2ter)Schnitt mit xAchse )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 03.02.2005 | | Autor: | tupcio |
Hallo!
Sie haben folgendes geschrieben:
infinitesimal dünne Holzylinder variierender Höhe f(x), dem Radius x und der Wandstärke dx verwenden. Die zu Integrierenden dV sind dann [mm]\text{dv = }x*\pi*f(x)*\text{dx}[/mm]
und die Grenzen sind dann eben x=0 (Schnitt mit yAchse) und x=1 ( (2ter)Schnitt mit xAchse )
Wäre das nicht für den Fall, dass man den Körper um die X-Achse rotieren lässt? Wir haben diese o.g. Methode zwar nicht in der Schule besprochen, aber ich erinnere mich, dass ich sowas ähnliches in der US High School, die ich vor einem Jahr besucht habe, gelernt habe.
Wie wäre das denn bei einer Rotation um die Y-Achse?
Ich habe auch mal versucht die Umkehrfunktion zu bilden (bin leider nicht bis zum Ende gekommen.):
y = x*(x-1)²
[mm] \wurzel{y} [/mm] = [mm] \wurzel{x} [/mm] * (x-1)
[mm] \wurzel{y} [/mm] = [mm] \wurzel{x}*x [/mm] - [mm] \wurzel{(x)}
[/mm]
[mm] \wurzel{y} [/mm] = [mm] x^{1.5} [/mm] - [mm] x^{0.5}
[/mm]
Und wie geht es jetzt weiter? Variablen vertauschen?
Ich habe wirklich keine Ahnung, obwohl ich schon eine lange Zeit über dieser Aufgabe sitze.
MfG
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> Hallo!
> Sie haben folgendes geschrieben:
>
> infinitesimal dünne Holzylinder variierender Höhe f(x), dem
> Radius x und der Wandstärke dx verwenden. Die zu
> Integrierenden dV sind dann [mm]\text{dv = }x*\pi*f(x)*\text{dx}[/mm]
>
>
> und die Grenzen sind dann eben x=0 (Schnitt mit yAchse) und
> x=1 ( (2ter)Schnitt mit xAchse )
>
> Wäre das nicht für den Fall, dass man den Körper um die
> X-Achse rotieren lässt? Wir haben diese o.g. Methode zwar
nein, ist es nicht. Die dünnste Hohlzylinderschale,
Radius = 0 ist die yAchse, und dann geht es,
mit den Zylinderschschalen in variierender Höhe,
nach außen.
> nicht in der Schule besprochen, aber ich erinnere mich,
> dass ich sowas ähnliches in der US High School, die ich vor
> einem Jahr besucht habe, gelernt habe.
>
> Wie wäre das denn bei einer Rotation um die Y-Achse?
>
> Ich habe auch mal versucht die Umkehrfunktion zu bilden
> (bin leider nicht bis zum Ende gekommen.):
>
> y = x*(x-1)²
> [mm]\wurzel{y}[/mm] = [mm]\wurzel{x}[/mm] * (x-1)
> [mm]\wurzel{y}[/mm] = [mm]\wurzel{x}*x[/mm] - [mm]\wurzel{(x)}
[/mm]
> [mm]\wurzel{y}[/mm] = [mm]x^{1.5}[/mm] - [mm]x^{0.5}
[/mm]
Gleichungen 3ten Grades sind zwar "exakt" lösbar,
aber monströs ( [mm] $\sqrt[3]{..\pm \sqrt{--}}$ [/mm] )
und das dann zu integrieren kaum zu schaffen
>
> MfG
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Do 03.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Idee mit den Hohlzylindern ist richtig, gibt aber den Körper, der die Fläche zwischen x-Achse und Graph um die y Achse dreht, hier wohl richtig aber i. A. soll die Fläche zw. y-Achse und Graph gedreht werden. Außerdem fehlt eine 2 in der Formel: dA = [mm] 2*\pi [/mm] *x dx dabei ist [mm] 2*\pi [/mm] *x der Umfang des Kreises mit Radius x, dV =dA *f(x)
Gruss leduart
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Hallo leduart, tupico
den Faktor 2 hab' ich tatsächlich vergessen :( ,
aber
"der falsche Körper" ist es, von der 2 abgesehen nicht, da die
Aufgabenstellung ausdrücklich sagt
"... ist weiterhin durch die ebenfalls um die 2. Achse rotierende 1. Achse begrenzt. "
Und
selbst bei Behandlung dieser Aufgabe mit der unhandlichen Umkehrfunktion wären
die dV nicht Kreisscheibchen sondern Kreisringscheibchen
[Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die einfache Lösung ist also
$V = \int _0 ^1 (2*\pi*x*f(x))\text{dx}$
$V = 2*\pi*\int _0 ^1 x^2*(x^2 - 2x +1)\text{dx}$
$V = 2*\pi*\int _0 ^1 (x^4 - 2x^3 + x^2)\text{dx}$
$V = 2*\pi*\left( \left. \frac{x^3}{5*4*3}\left(3*4*x^2 - 2*5*3*x +5*4 \right) \right) \right| _0 ^1$
$V = \pi*\left( \left. \frac{x^3}{30}\left(12*x^2 - 30*x +20 \right) \right) \right| _0 ^1$
$V = \pi*\left( \left. \frac{x^3}{15}\left(6*x^2 - 15*x +10 \right) \right) \right| _0 ^1$
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Do 03.02.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Tupico,
ich möchte dir empfehlen noch einmal diese Antwort zu lesen
und auf diese Aufgabe anzuwenden. Die beiden Aufgaben sind ja beinahe identisch.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 03.02.2005 | | Autor: | tupcio |
Hallo!
Habe versucht diese Aufgabe genauso zu rechnen wie die andere Aufgabe.
Habe leider schon am Anfang große Probleme, da ich die Umkehrfunktion nicht bilden kann (s. Umkehrfunktion bilden).
Das System verstehe ich ja, aber ich weiß nicht wie man die pq-Formel bei x³-2x²+x=0 benutzen soll.
Danke!
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Do 03.02.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo!
> Habe versucht diese Aufgabe genauso zu rechnen wie die
> andere Aufgabe.
>
> Habe leider schon am Anfang große Probleme, da ich die
> Umkehrfunktion nicht bilden kann (s.
> Umkehrfunktion bilden).
>
>
> Das System verstehe ich ja, aber ich weiß nicht wie man die
> pq-Formel bei x³-2x²+x=0 benutzen soll.
>
> Danke!
> MFG
>
Hallo Tupico,
mit der pq-Formel hast du natürlich Recht. Aber die Gleichung ist nicht wirklich schwer zu lösen,
da du $x$ vorklammern kannst. Danach brauchst du die pq-Formel auch nicht mehr, da die zweite
binomische Formel sich zeigt.
[mm] $x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x*(x-1)^2$ [/mm]
Liebe Grüße
Fugre
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
