Rotation in Zylinderkoordinate < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Do 03.07.2008 | | Autor: | Manaug |
| Aufgabe | Berechne die Rotation der folgenden Magnetisierungen in einem unendlich langen Zylinder mit Radius R, dessen Zylinderachse mit der z-Achse zusammenfalle:
a) Die Magnetiseirung zirkuliere um die Zylinderachse:
[mm] \vec{M} = M_0 \left( \frac{-y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \; \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \; 0 \right) [/mm]
b) Die Magnetiseirung sei radial gerichtet:
[mm] \vec{M} = M_0 \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \; \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \; 0 \right) [/mm]
Tipp: Führe die Rechnung in geeigneten Koordinaten durch. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also erstmal hallo,
ich kämpfe mit der obigen Aufgabe schon nun ne ganze Weile. Wie man die Rotation in kartesischen Koordinaten berechnet, ist mir klar. Vektorprodukt des Nabla-Operators mit dem Vekorfeld. Das funktioniert auch bei beiden Teilaufgaben super, solange ich, wie gesagt, in kartesischen Koordinaten bleibe. Dann kriege ich
a) [mm] M_0 \left(0, \; 0, \; \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) = \left( 0, \; 0, \; \frac{1}{r} \right) [/mm]
b)[mm] M_0 \left(0, \; 0, \; 0 \right) [/mm]
Das ganze in kartesischen Koordinaten zu berechnen wäre mir aber auch ohne den Tipp nicht eingefallen, da es ja in einem Zylinder ist und die Vektorfelder jeweils in Zylinderkoordinaten viel einfacher aussehen.
Ich habe die Vektorfelder also mit den üblichen Transformationsregeln transformiert:
a) [mm] M_0 \left( -\sin \varphi, \; \cos \varphi, \; 0 \right) = \vec{e}_\varphi [/mm]
b) [mm] M_0 \left( \cos \varphi, \; \sin \varphi, \; 0 \right) = \vec{e}_r [/mm]
Das macht meiner Meinung auch mit den Angaben über die Zirkulation Sinn, da die Vektoren gleich den Einheitsvektoren der Zylinderkoordinaten sind.
Wende ich nun jedoch die Rotationsformel für Zylinderkoordinaten an:
[mm] \nabla \times \vec{A}=(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z})\vec{e}_\rho+ (\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho})\vec{e}_\varphi+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}) \vec{e}_z [/mm]
bekomme ich nicht das selbe Resultat wie in kartesischen Koordinaten und ich habe es auch schon mit einem Taschenrechner überprüft (die Rotation musste ich dort jedoch von Hand eingeben). Folgendes Resultat kriege ich
a) [mm] M_0 \left( 0, \; 0, \; \frac{2 \cos \varphi}{r} \right) [/mm]
b) [mm] M_0 \left( 0, \; 0, \; \frac{2 \sin \varphi}{r} \right) [/mm]
So wie es aussieht mache ich zweimal den genau gleichen Fehler und mein Bruder, dem ich die Aufgabe ohne irgendwelche Hinweise auch so gestellt habe, macht den gleichen Fehler. Kann mir jemand erklären, was ich falsch mache?
Da das Problem nur in der z-Komponente liegt, hier mal mein genauer Rechenweg für die z-Komponente der Rotation des Vektorfeldes für die Teilaufgabe b) ( a) ist ja dann analog mit Cosinus):
[mm] \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r}(r \cdot \sin \varphi) - \frac{\partial}{\partial \varphi} \cos \varphi \right) = \frac{1}{r} \left( 1 \cdot \sin \varphi + r \cdot 0 - (-\sin \varphi) \right) [/mm]
Wahrscheinlich ist der Fehler ziemlich trivial und dämlich, aber ich seh ihn einfach nicht.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Fr 04.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne die Rotation der folgenden Magnetisierungen in
> einem unendlich langen Zylinder mit Radius R, dessen
> Zylinderachse mit der z-Achse zusammenfalle:
>
> a) Die Magnetiseirung zirkuliere um die Zylinderachse:
> [mm]\vec{M} = M_0 \left( \frac{-y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \; \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \; 0 \right)[/mm]
>
> b) Die Magnetiseirung sei radial gerichtet:
> [mm]\vec{M} = M_0 \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \; \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \; 0 \right)[/mm]
>
> Tipp: Führe die Rechnung in geeigneten Koordinaten durch.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also erstmal hallo,
>
> ich kämpfe mit der obigen Aufgabe schon nun ne ganze Weile.
> Wie man die Rotation in kartesischen Koordinaten berechnet,
> ist mir klar. Vektorprodukt des Nabla-Operators mit dem
> Vekorfeld. Das funktioniert auch bei beiden Teilaufgaben
> super, solange ich, wie gesagt, in kartesischen Koordinaten
> bleibe. Dann kriege ich
>
> a) [mm]M_0 \left(0, \; 0, \; \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) = \left( 0, \; 0, \; \frac{1}{r} \right)[/mm]
>
> b)[mm] M_0 \left(0, \; 0, \; 0 \right)[/mm]
>
> Das ganze in kartesischen Koordinaten zu berechnen wäre mir
> aber auch ohne den Tipp nicht eingefallen, da es ja in
> einem Zylinder ist und die Vektorfelder jeweils in
> Zylinderkoordinaten viel einfacher aussehen.
> Ich habe die Vektorfelder also mit den üblichen
> Transformationsregeln transformiert:
>
> a) [mm]M_0 \left( -\sin \varphi, \; \cos \varphi, \; 0 \right) = \vec{e}_\varphi[/mm]
>
> b) [mm]M_0 \left( \cos \varphi, \; \sin \varphi, \; 0 \right) = \vec{e}_r[/mm]
>
> Das macht meiner Meinung auch mit den Angaben über die
> Zirkulation Sinn, da die Vektoren gleich den
> Einheitsvektoren der Zylinderkoordinaten sind.
> Wende ich nun jedoch die Rotationsformel für
> Zylinderkoordinaten an:
>
> [mm]\nabla \times \vec{A}=(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z})\vec{e}_\rho+ (\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho})\vec{e}_\varphi+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}) \vec{e}_z[/mm]
>
> bekomme ich nicht das selbe Resultat wie in kartesischen
> Koordinaten und ich habe es auch schon mit einem
> Taschenrechner überprüft (die Rotation musste ich dort
> jedoch von Hand eingeben). Folgendes Resultat kriege ich
>
> a) [mm]M_0 \left( 0, \; 0, \; \frac{2 \cos \varphi}{r} \right)[/mm]
>
> b) [mm]M_0 \left( 0, \; 0, \; \frac{2 \sin \varphi}{r} \right)[/mm]
>
> So wie es aussieht mache ich zweimal den genau gleichen
> Fehler und mein Bruder, dem ich die Aufgabe ohne
> irgendwelche Hinweise auch so gestellt habe, macht den
> gleichen Fehler. Kann mir jemand erklären, was ich falsch
> mache?
>
> Da das Problem nur in der z-Komponente liegt, hier mal mein
> genauer Rechenweg für die z-Komponente der Rotation des
> Vektorfeldes für die Teilaufgabe b) ( a) ist ja dann analog
> mit Cosinus):
>
> [mm]\frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r}(r \cdot \sin \varphi) - \frac{\partial}{\partial \varphi} \cos \varphi \right) = \frac{1}{r} \left( 1 \cdot \sin \varphi + r \cdot 0 - (-\sin \varphi) \right)[/mm]
Du setzt immer noch die Komponenten in kartesischen Koordinaten ein. Bei b) hast du doch
[mm] \vec{M} = M_0 \vec{e}_r [/mm].
Mit anderen Worten: [mm] $M_r=M_0$, $M_\varphi=0$, $M_z=0$. [/mm] Eingesetzt in die Formel ergibt sich [mm] $\vec{\nabla}\times\vec{M} [/mm] = 0 $.
Bei der a) ist dann nur [mm] $M_\varphi=M_0\not=0$, [/mm] und es bleibt nur die Komponente in z-Richtung übrig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Manaug |
Oh man bin ich blöd. Ich hab die Transformation ja gar nicht richtig gemacht, danke für den Hinweis.
Dass da [mm]\vec{M} = M_0 \cdot \vec{e}_r[/mm] rauskommen muss, war mir nur durch die Aufgabenstellung klar. Wenn nur das Vektorfeld gegeben wäre, wäre ich da nicht wirklich draufgekommen. Deshalb versuche ich die komplette Transformation zu verstehen. Eigentlich sollte das ja ziemlich trivial sein bzw ich konnte es mal, aber was man nicht alles vergisst und in der Hitze des Gefechts falsch macht....
Ich muss für die Komponente des neuen Vektorfeldes also folgendes einsetzen oder?
[mm]e_r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} = 1[/mm]
[mm]e_\varphi = \arg (x,y) = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) = ???[/mm]
[mm]e_z = z = 0[/mm]
Aber was ergibt mir das für die [mm]\varphi[/mm]-Komponente? Wenn ich mit den äquivalenten [mm]\sin \varphi[/mm] und [mm]\cos \varphi[/mm] rechne, komme ich auf
[mm]e_\varphi = \arctan \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \arctan \tan \varphi = \varphi[/mm]
Aber eigentlich sollte doch 0 rauskommen. Irgendwo mache ich also noch einen Fehler :-(
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Sa 05.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Oh man bin ich blöd. Ich hab die Transformation ja gar
> nicht richtig gemacht, danke für den Hinweis.
> Dass da [mm]\vec{M} = M_0 \cdot \vec{e}_r[/mm] rauskommen muss, war
> mir nur durch die Aufgabenstellung klar. Wenn nur das
> Vektorfeld gegeben wäre, wäre ich da nicht wirklich
> draufgekommen. Deshalb versuche ich die komplette
> Transformation zu verstehen. Eigentlich sollte das ja
> ziemlich trivial sein bzw ich konnte es mal, aber was man
> nicht alles vergisst und in der Hitze des Gefechts falsch
> macht....
>
> Ich muss für die Komponente des neuen Vektorfeldes also
> folgendes einsetzen oder?
>
> [mm]e_r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} = 1[/mm]
>
> [mm]e_\varphi = \arg (x,y) = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) = ???[/mm]
>
> [mm]e_z = z = 0[/mm]
Ich nehme mal an, du meinst hier die Komponenten des Vektorfeldes und nicht die Einheitsvektoren.
Da die Vektoren [mm] $\vec{e}_r$, $\vec{e}_\varphi$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_z$ [/mm] eine Orthonormalbasis bilden, folgt aus
[mm]\vec{M} = M_r\vec{e}_r + M_\varphi\vec{e}_\varphi+M_z\vec{e}_z[/mm]
die Darstellung der Komponenten
[mm] M_r = \vec{M} * \vec{e}_r [/mm]
[mm] M_\varphi = \vec{M} * \vec{e}_\varphi [/mm]
[mm] M_z = \vec{M} * \vec{e}_z [/mm]
Die z-Komponente ist ganz einfach, die ist ja dieselbe wie in kartesischen Koordinaten.
In kartesischen Koordinaten ist außerdem (mit [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2}$):
[/mm]
[mm] \vec{e}_r = \left(\bruch{x}{r},\bruch{y}{r},0\right) [/mm]
[mm] \vec{e}_\varphi = \left(\bruch{-y}{r},\bruch{x}{r},0\right) [/mm]
Wenn du dein [mm] $\vec{M}$ [/mm] aus a) einsetzt, ist
[mm] M_r= \vec{M} * \vec{e}_r = M_0 \left(\bruch{-y}{r},\bruch{x}{r},0\right) * \left(\bruch{x}{r},\bruch{y}{r},0\right) = 0 [/mm]
und
[mm] M_\varphi = \vec{M} * \vec{e}_\varphi = M_0 \left(\bruch{-y}{r},\bruch{x}{r},0\right) * \left(\bruch{-y}{r},\bruch{x}{r},0\right) = M_0 [/mm].
Damit ist
[mm] \vec{\nabla}\times\vec{M} = \bruch{\partial M_\varphi}{\partial z} \vec{e}_r + \bruch{1}{r} \bruch{\partial}{\partial r} (r M_\varphi) \vec{e}_z = 0 + \bruch{1}{r} \bruch{\partial}{\partial r} (r M_0)\vec{e}_z = \bruch{M_0}{r} \vec{e}_z [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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