Rotation bzgl. festem System < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Sei [mm] R_2^0 [/mm] eine Rotationsmatrix, die zwischen dem Koordinatensystem 0 und 2 umrechnet. Zeigen Sie, dass für die Rotation bzgl. eines festen Koordinatensystems folgendes gilt:
[mm] R_2^0 [/mm] = [mm] R^1_2 \cdot R^0_1 [/mm] |
Hi,
also die Rotation zwischen mehreren Koordinatensystemen bezüglich des aktuellen Systems ist ja eine Rechts-Multiplikation.
Analog wird in der Vorlesung gesagt, dass bezüglich eines festen Koordiantensystems die Multiplikation immer "von links" stattfindet. Soweit ich das verstehe, müsste dann die Multiplikation so aussehen, wie ich es in der Aufgabe beschrieben habe. Leider kann ich mir nicht erklären, wieso das so ist.
Hat da jemand eine Idee bzw. einen Tipp?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mi 11.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du die Ausdrücke [mm] R^1_2 [/mm] usw bitte definieren?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Mi 11.09.2013 | | Autor: | Pille456 |
[mm] R^1_2 [/mm] ist die Rotationsmatrix, die vom Koordinatensystem 1 in Koordinatensystem 2 "umrechnet". Das heißt, es gibt zwei (ortogohnale) Koordinatensystem 1 und 2:
Sei [mm] p_1 [/mm] ein Punkt im Koordinatensystem 1, dann kann man mit Hilfe von [mm] R^1_2 [/mm] den entsprchenden Punkt [mm] p_2 [/mm] im System 2 ausrechnen: [mm] p_2 [/mm] = [mm] R^1_2 \cdot p_1
[/mm]
Reicht das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mi 11.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ganz verstehe ich deine Frage nicht.
die Matrix [mm] R^0_1*b_0 [/mm] ergibt [mm] b_1
[/mm]
dann [mm] R^2_1*b1=b2 [/mm] damit [mm] R^1_2*R^0_1*b_0=b2
[/mm]
war das die Frage? entsprechend wie [mm] g\circf [/mm] für gewöhnliche Funktionen von x sgt g(f(x)
war das deine Frage? eine operation wird immer das zuerst ausgeführt, was am rechtesten steht!
Gruss leduart
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Hi,
das beantwortet meine Frage leider nicht. Ich füge mal etwas Kontext hinzu:
Angenommen man hat einen Roboterarm mit 3 Gelenken. Das eine Ende des Arms befindet sich in Koordinatensystem 0 - dort ist der Roboter fest montiert. Nun möchte man wissen, wo sich das andere Ende des Roboterarms in diesem Koordinatensystem 0 befindet. Um das zu tun, kann man die Rotationsmatrix bzgl. jedes Gelenkes bestimmten. Hierbei gibt es prinzipiell 2 Möglichkeiten:
a) Man betrachtet die Rotation relativ gesehen zur vorherigen Rotation
b) Man betrachtet die Rotation immer bezüglich des Basiskoordinatensystems 0
Sei nun [mm] R^0_1 [/mm] die Rotationsmatrix, die eine Punkt aus 1 in einen Punkt aus 0 umrechnet, also [Achtung: Im vorherigen Post habe ich diese Schreibweise vertauscht! Ich komme da leider recht fix durcheinander]:
[mm] p_0 [/mm] = [mm] R^0_1 \cdot p_1. [/mm] Analog gilt dann [mm] p_1 [/mm] = [mm] R^1_2 \cdot p_2 [/mm] usw., sodass man dann entsprechend umrechnen kan:
[mm] p_0 [/mm] = [mm] R^0_1 \cdot R^1_2 \cdot R^2_3 \cdot p_3. [/mm] Mit anderen Worten, die Rotationsmatrix von System 3 nach 0 ist direkt mit [mm] R^0_3 [/mm] = [mm] R^0_1 \cdot R^1_2 \cdot R^2_3 [/mm] (also einer Postmultiplikation) gegeben.
Diese Rotationen werden immer bezüglich des vorherigen Koordinatensystems ausgeführt. D.h. zunächst wird mit [mm] R^0_1 [/mm] von System 0 nach System 1 rotiert. Ausgehend von diesem System (also 1) wird dann nach 2 rotiert usw.
Alternativ kann man jedoch auch von System 0 nach System 1 rotieren. Um dann von 1 nach 2 zu kommen, betrachtet man dann jedoch die Rotation die man bezüglich dem System 0 ausführen muss, d.h. alle durchgeführten Rotationen sind immer bzgl. des gleichen Referenzkoordinatensystems. In diesem Fall sieht die Rotationsmatrix dann wie folgt aus: [mm] R^0_3 [/mm] = [mm] R^2_3 \cdot R^1_2 \cdot R^0_1. [/mm] Bezüglich eines festen Koordinatensystems muss man also immer eine Prämultiplikation durchführen.
Ich hoffe, dass nun die Frage etwas klarer wird. Ich bin da leider auch nicht soo sicher, darum frage ich ja...
Gruß :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 13.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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