Rotation ausgedehnter Körper < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Ich habe ein Problem. Es geht um die Rotation ausgedehnter Körper um eine einen Schwerpunkt. Die ausgedehnten Körper (hier: Kugeln) sind durch eine Schnur verbunden. Die Masse und Ausbreitung beider Körper sind gleich (in der Skizze zwar nicht, aber man kann es sich ja vorstellen). Der Schwerpunkt S sei auch in gleichem Abstand zu beiden Kugeln.
Die Luftreibung soll vernachlässigt werden, weil die Kugeln im Vakuum um den Schwerpunkt kreisen.
Ich möchte die Geschwindigkeit wissen, die man braucht, damit die gleiche Schwerebeschleunigung wie auf der Erde herrscht.
[Externes Bild http://img412.imageshack.us/img412/5748/unbenanntju.png]
Mein Ansatz war allgemein:
[mm] F_{Gr} [/mm] = [mm] F_{Ze}
[/mm]
m*g = [mm] \bruch{m*v^{2}}{r}
[/mm]
Dann könnte ich das nach v auflösen und als Funktion von r abhängig machen aber das gilt nur für Massepunkte.
Aber eine Kugel hat ja sehr viele Massepunkte. Aber leider weiß ich nicht weiter. Könnt ihr mir einen Ansatz geben?
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Hallo!
Etwas besser geeignet ist die Formel [mm] F=m\omega^2r [/mm] , die beschreibt die Kraft nicht durch die radiale Geschwindigkeit, sondern allein durch die Umdrehungsgeschwindigkeit.
Und ja, mit der Formel reduzierst du die Kugeln auf Massepunkte. Aber daran kannst du wenig ändern. Punkte der Kugel, die näher zur Drehachse liegen, werden immer eine geringere Kraft spüren, als Punkte weiter außen.
Man kann nun anfangen zu integrieren und damit weiterrechnen, um eine 100% exakte "Gewichtskraft" im Faden zu erreichen, aber eigentlich macht man sowas eher nicht.
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Danke schonmal!
Ich habe die andere Formel benutzt, weil sie mir vertrauter aus der Schule ist. Deswegen war ich immer etwas zurückhaltend, wenn es um die Winkelgeschwindigkeit ging, aber so kompliziert ist sie ja nicht.
"Man kann nun anfangen zu integrieren und damit weiterrechnen, um eine 100% exakte "Gewichtskraft" im Faden zu erreichen, aber eigentlich macht man sowas eher nicht."
Aber genau das will ich ja. Mir fehlt bloß der Ansatz. Könntest du mir erklären, wie ich das machen soll?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 09.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du das exakt ausrechnen willst, wird es schwierig. Versuche erst einmal eine Näherung, damit Du Dich an die Methode gewöhnen kannst. Zerlege die Kgel in Scheiben, die du als platte Zylinder betrachten kannst. Die Scheiben haben alle die Dicke dr. Die Scheiben haben als Normale die Verbindungslinie zwischen den beiden Kugeln. Dann berechnest Du den Beitrag einer solcher Scheibe zur Gesamtkraft. Den Beitrag aller Scheiben erhälst Du, indem Du die Beiträge aller Scheiben aufsammelst, das ist ein Integral entlang der Verbindungslinie, von da, wo die Kugel beginnt, bis dort, wo die Kugel aufhört.
Die Näherung besteht darin, dass die Punkte einer solchen Scheibe nicht den gleichen Abstand von der Drehachse haben. Für die exakte Lösung wirst Du dann die Kugel in kleine Würfel oder etwas ähnliches zerlegen müssen. Ob das Integral dann lösbar ist, lass uns mal abwarten. Beginne erst einmal mit der Näherung.
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Genau das ist mein Problem - die Kraft für ausgedehnte Körper.
Ich könnte jetzt nur die einzelnen Kräfte der Massenpunkte berechnen, die entlang der imaginären weitergeführten Fadenlinie sind. Aber ich wüsste dann auch ncith wirklich, wie ich mit der Masse umgehen soll.
Bei den platten Zylindern würde ich dann die Dicke gegen 0 streben lassen, damit man mehrere Scheiben hat, die eine bessere Näherung liefern.
Ich weiß nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mi 09.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Da muss ich noch nachtragen: für die Zylinder berechnest Du die Kraft, als ob es ein punktförmiger Körper wäre. Bitte rechne zuerst diese Näherung. Überlege, wie gut diese Näherung schon ist.
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Hallo!
Bevor du dir all zu viel Mühe machst, speziell mit dieser Grenzwertbetrachtung für unendlich dünne Scheiben (Den brauchst du gar nicht groß betrachten, denn das ist nichts anderes als ein Integral, aber dazu später mehr, wenn es so weit ist)
hier nochmal ein Überblick über deine konkrete Aufgabenstellung:
* Betrachte die Kugel erstmal in einem Koordinatensystem, bei dem die Kugel im Ursprung liegt.
* Die Kugel ist in dünne Zylinderscheiben aufgeteilt.
* Das Gewicht der Scheibe berechnest du aus Volumen und Dichte [mm] \rho.
[/mm]
* Dazu benötigst du die Position r der Scheibe bezüglich des Kugelmittelpunks, um den Radius zu bestimmen.
* Die Dicke der Scheiben nennen wir in weise Voraussicht dr
* Jetzt die Kraft: Die Entfernung der Scheibe von der Drehachse ist L+r , wobei L die Entfernung des Kugelmittelpunkts von der Drehachse ist.
Versuch es mal bis hier hin, und dann schauen wir weiter.
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[mm] m*g=\bruch{m*v^2}{b} [/mm] (b=Abstand zur Drehachse)
$ 1400g*9,81 $ [mm] \bruch{m}{s^2} [/mm] = [mm] \bruch{1400g*v^2}{1m}
[/mm]
Masse bei: Radius r=5cm und aus Aluminium
Das ist erstmal alles als Massepunkt betrachtet.
Jetzt geht's zur Kugel über:
Der Kugelmittelpunkt liegt im Koordinarten-Urpsrung. Sage ich, dass dr (die Dicke einer Scheibe) in x-Richtung verläuft. Die Intervallgrenzen sind [-5;5]. Die Dicke eines Zylinders (dr) ist [mm] \bruch{b-a}{2^n}. [/mm] Dabei sind b und a die Intervallgrenzen und n die Anzhal der Teilungen.
Jetzt komme ich zum radius der einzelnen Scheibe. Die Kreisgleichung (in 2 Dimensionen x-y betrachtet) in dem speziellen Fall ist [mm] x^2+y^2=25. [/mm] In dem Fall gibt y den radius der einzelnen Scheibe an und x den Abstand zum Mittelpunkt.
Nach y umgestellt ergibt sich: [mm] y=\wurzel[2]{25-x^2}
[/mm]
[mm] x_{i}=i*dr+a [/mm] (wobei i der i-te Zylinder ist)
eingesetzt in Kreisgleichung ergibt:
[mm] y=\wurzel[2]{25-(i*\bruch{10}{2^n}-5)^2}
[/mm]
Jetzt habe ich den Radius einer einzelnen Scheibe.
Jetzt gucke ich mir nochmal die Volumenformel für einen Zyliner an (um die Masse herauszufinden):
[mm] V=\pi*r^2*h
[/mm]
[mm] V=\pi*y^2*dr
[/mm]
Dann ist die Masse eines Zylinders:
[mm] V*\rho=m [/mm] (Dichte Aluminium: [mm] 2,7g/cm^3)
[/mm]
[mm] \pi*y^2*dr*2,7=m
[/mm]
Für y eingesetzt:
[mm] \pi*[\wurzel[2]{25-(i*\bruch{10}{2^n}-5)^2}]^2*dr*2,7=m
[/mm]
[mm] m=\pi*[\wurzel[2]{25-(i*\bruch{10}{2^n}-5)^2}]^2*\bruch{10}{2^n}*2,7 [/mm] (in Gramm)
Jetzt zu der Kraft:
Zur Erinnerung:
$ 1400g*9,81 $ [mm] \bruch{m}{s^2} [/mm] = [mm] \bruch{1400*v^2}{100cm}
[/mm]
Modifiziert:
$ m*981 $ [mm] \bruch{cm}{s^2} [/mm] = [mm] \bruch{m*v^2}{100cm}
[/mm]
Ohne Einheiten:
$ m*981 $ = [mm] \bruch{m*v^2}{100}
[/mm]
Für m eingesetzt und Abstand von Zylinder zur Drehachse berücksichtigt):
$ [mm] (\pi*[\wurzel[2]{25-(i*\bruch{10}{2^n}-5)^2}]^2*\bruch{10}{2^n}*2,7)*981 [/mm] $ = [mm] \bruch{(\pi*[\wurzel[2]{25-(i*\bruch{10}{2^n}-5)^2}]^2*\bruch{10}{2^n}*2,7)*v^2}{100-x}
[/mm]
Ist das was falsch und wie geht es weiter?
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Hallo!
Ja, im Prinzip ist das schon sehr gut, aber noch ein wenig kompliziert. Und durch das Zahleneinsetzen siehst du einige Vereinfachungen nicht mehr...
betrachte mal EINE Scheibe.
Für sie gilt
$ [mm] y=\wurzel{r_0^2-r^2} [/mm] $ mit [mm] r_0 [/mm] : Kugelradius und [mm] r\in[-r_0;+r_0] [/mm] : Abstand der Scheibe vom Kugelmittelpunkt.
und damit für das Volumen:
$ [mm] V=\pi *y^2 [/mm] *dr$ mit dr: Scheibendicke
$ [mm] V=\pi\left(\wurzel{r_0^2-r^2}\right)^2 [/mm] *dr$
und vereinfacht:
$ [mm] V=\pi*(r_0^2-r^2) [/mm] *dr$
was für die Masse ergibt:
$ [mm] m=\rho*\pi*(r_0^2-r^2) [/mm] *dr$
Wenn der Kugelmittelpunkt den Abstand L von der Drehachse hat, hat die Scheibe den Abstand L+r davon!
Und damit die Kraft durch eine einzelne Scheibe:
$F= [mm] m\omega *(L+r)=\rho*\pi*(r_0^2-r^2)*\omega [/mm] *(L+r) *dr$
Jetzt müßte man sich Gedanken über die Dicke machen, sie gegen 0 gehen lassen, und alle Scheiben aufaddieren.
ABER: das geht schon ohne explizit darüber nachzudenken. Du mußt den ausdruck nur noch integrieren:
[mm] $F_{ges}=\int_{-r_0}^{+r_0}\rho*\pi*(r_0^2-r^2)*\omega [/mm] *(L+r) *dr$
Vielleicht erinnerst du dich an die Einführung in Integralrechnung, da wurden Rechtecke unter ne Funktion gemalt und deren Fläche aufaddiert, dann wurden die Rechtecke schmaler, die Grenzwertbetrachtung wurde "automatisiert", und man nennt das integrieren.
Hier hast du das gleiche Problem: Die Kugel wird in Scheiben zerlegt, und statt Flächen addierst du Kräfte.
Zu guter letzt weißt du, daß [mm] $m=\rho\frac{4}{3}\pi r_0^3$ [/mm] gilt. Wenn du das zum Schluß noch einsetzt, kannst du das [mm] \rho [/mm] gegen die bekannte Masse tauschen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Do 10.06.2010 | | Autor: | chrisno |
[mm] \omega^2
[/mm]
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Die Schlussfolgerungen und die Schritte habe ich von Event_Horizon verstanden (dann vielmals Danke für die tolle Hilfe. Dass ihr nicht sofort die Antwort gibt, freut mich, weil ich so die Sache erst verstehen kann, auch wenn meine Gleichung am Ende lang war).
Jetzt nur meine Frage, warum jetzt noch dieses $ [mm] \omega^2 [/mm] $ ? Ist da irgendo was falsches, also ein kleiner Flüchtigkeitsfehler?
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Hallo!
Nee, war mein Fehler. [mm] $F=m\omega\red{^2} [/mm] r$
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Ja, jetzt sehe ich es auch.
Danke!
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