Rotation Kreis < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 18.05.2014 | | Autor: | nero08 |
hallo!
folgende Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, der bei der Rotation jenes Flächenstückes um die 1. Achse entsteht, das von den beiden Kreisen k1: [mm] (x-3.5)^2 [/mm] + (y [mm] +1.5)^2 [/mm] = 50/4 und
[mm] k2:(x+0.25)^2 [/mm] +(y [mm] +0.25)^2 [/mm] = 250/16 und der
1. Achse im 1. Quadranten eingeschlossen wird.
Gut ich hab mal die Schnittpunkte der beiden kreise ermittelt. Diese wären bei [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=3. [/mm]
Nun weiß ich jedoch nicht wie ich es schaffe, dass ich die Kreisgleichungen so umschreibe,dass ich sie in die Formel für die Rotation um die x-Achse einsetzen kann:
V= [mm] \pi \integral_{1}^{3}{y^2 dx}
[/mm]
kann jemand helfen? :)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 So 18.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
an deiner ersten Kreisgleichung stimmt was nicht. Korrigiere die mal, dann wird sich schnell eine ANtwort finden.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 So 18.05.2014 | | Autor: | nero08 |
sorry copy paste fehler....
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Hallo,
> hallo!
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> folgende Aufgabenstellung:
>
> Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, der bei der
> Rotation jenes Flächenstückes um die 1. Achse entsteht,
> das von den beiden Kreisen k1: [mm](x-3.5)^2[/mm] + (y [mm]+1.5)^2[/mm] =
> 50/4 und
> [mm]k2:(x+0.25)^2[/mm] +(y [mm]+0.25)^2[/mm] = 250/16 und der
> 1. Achse im 1. Quadranten eingeschlossen wird.
>
>
> Gut ich hab mal die Schnittpunkte der beiden kreise
> ermittelt. Diese wären bei [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=3.[/mm]
Ja, mache dir aber klar, dass dich nur der Schnittpunkt bei x=3 interessiert.
>
> Nun weiß ich jedoch nicht wie ich es schaffe, dass ich die
> Kreisgleichungen so umschreibe,dass ich sie in die Formel
> für die Rotation um die x-Achse einsetzen kann:
>
> V= [mm]\pi \integral_{1}^{3}{y^2 dx}[/mm]
>
>
> kann jemand helfen? :)
Da es um diejenigen Flächenteile geht, die im 1. Quadranten liegen: einfach* beide Kreisgleichungen nach y auflösen, dabei jeweils die positive Version verwenden und den zweiten Kreis von 0 bis 3, den ersten von 3 bis zu seinem rechten Schnittpunkt mit der x-Achse (den du noch ausrechnen mussst) integrieren.
*Kleiner Scherz. Da musst du dir noch irgendeine gescheite Substitution mit der Sinusfunktion ausdenken.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 18.05.2014 | | Autor: | nero08 |
HallO!
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> Da es um diejenigen Flächenteile geht, die im 1.
> Quadranten liegen: einfach* beide Kreisgleichungen nach y
> auflösen, dabei jeweils die positive Version verwenden
alsoo nur die Werte oberhalb der y Achse?
> und den zweiten Kreis von 0 bis 3, den ersten von 3 bis zu
> seinem rechten Schnittpunkt mit der x-Achse (den du noch
> ausrechnen mussst) integrieren.
>
> *Kleiner Scherz. Da musst du dir noch irgendeine gescheite
> Substitution mit der Sinusfunktion ausdenken.
Jetzt hast mich ein bisschen durcheinander gebracht. Was muss ich mit der sinusfunktion substituieren? Bei der Parameterdarstellung, kann ich mir das vorstellen, aber wie schaut das hier aus?
>
> Gruß, Diophant
lg
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Hallo,
> HallO!
> >
> > Da es um diejenigen Flächenteile geht, die im 1.
> > Quadranten liegen: einfach* beide Kreisgleichungen nach y
> > auflösen, dabei jeweils die positive Version verwenden
>
> alsoo nur die Werte oberhalb der y Achse?
Ja, und auch nur die mit [mm] x\ge{0}, [/mm] oder was verstehst du unter dem 1. Quadranten?
> > und den zweiten Kreis von 0 bis 3, den ersten von 3 bis zu
> > seinem rechten Schnittpunkt mit der x-Achse (den du noch
> > ausrechnen mussst) integrieren.
> >
> > *Kleiner Scherz. Da musst du dir noch irgendeine gescheite
> > Substitution mit der Sinusfunktion ausdenken.
>
>
> Jetzt hast mich ein bisschen durcheinander gebracht. Was
> muss ich mit der sinusfunktion substituieren? Bei der
> Parameterdarstellung, kann ich mir das vorstellen, aber wie
> schaut das hier aus?
Sorry, da habe ich mich vertan. Ich habe in meiner ganzen Überlegung vergessen, dass wir ja ein Roatationsvolumen berechnen, dann sind durch das Quadrieren die auftretenden Integrale denkbar einfach. Vergiss also für den Moment den Sinus. 
Löse jetzt die Kreisgleichungen auf wie geraten, dann siehst du, was ich meine!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 So 18.05.2014 | | Autor: | nero08 |
> Hallo,
>
>
> Ja, und auch nur die mit [mm]x\ge{0},[/mm] oder was verstehst du
> unter dem 1. Quadranten?
x [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] y\ge [/mm] 0 dann sind wir im 1.Quadranten :)
>
> Sorry, da habe ich mich vertan. Ich habe in meiner ganzen
> Überlegung vergessen, dass wir ja ein Roatationsvolumen
> berechnen, dann sind durch das Quadrieren die auftretenden
> Integrale denkbar einfach. Vergiss also für den Moment den
> Sinus.
>
> Löse jetzt die Kreisgleichungen auf wie geraten, dann
> siehst du, was ich meine!
Vl. seh ich das ja flasch, aber müssten die Gezen des 2. Kreise nicht von seinem linken Schnittpunkt mit der x-Achse bis 3 gehen?
Hab das jetzt mal so gemacht:
rechter Schnittpunkt von kreis 1 mit der x-Achse entspricht x=4,19
linker schnitpunkt des 2. kreises mit der x-Achse ist 0,3
Wenn ich nun die Kreisgleichungen nach [mm] y^2 [/mm] umschreibe und einsetzte in die Formel erhalte ich:
V= [mm] \Pi [/mm] *[ [mm] \integral_{0.3}^{3}{(-x^2 + 7x -3y -2) dx} [/mm] - [mm] \integral_{3}^{4.19}{(-x^2-0.5*x-0.5y + 15.5) dx}
[/mm]
wenn ich das integral nun ausrechne erhalte ich:
[16.01 - 7.51y] [mm] \Pi
[/mm]
hab ich beim auflösen nach y was flasch verstanden? bzw. wie werde ich das y "los"?
danke und lg
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
obiges ist völlig falsch und ich sehe nicht so recht ein, das alles nocnhmal auseinanderzupflücken: ich habe dir nämlich den richtigen Ansatz bereits gegeben.
Die untere Schranke in deinem ersten Integral muss Null sein, die Integranden sind vertauscht, den Schnittpunkt des rechten Kreises mit der x-Achse hast du falsch berechnet. Das wären so die Dinge, die mir sofort aufgefallen sind...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mo 19.05.2014 | | Autor: | nero08 |
Hi!
Also die 1. Kreis schneidet die x- Achse bei 0.3 und 6.7. Deshalb kann ich das integral nicht von 0 "weglaufen" lassen ;)
Der rechte schnittpunkt von k1 liegt bei 3.69, da hat sich bei der Lösungsformel ein Vorzeichen fehler eingeschlichen.
Jedenfalls hab ichs mit einem Kollegen dann so gelöst:
für k1:
[mm] y^2 [/mm] + 3y [mm] +(x^2 [/mm] -7x +2) = 0
dann mit kleiner lösungsformel auf
[mm] y_{1,2}= [/mm] -1.5 + sqrt(2.25 - [mm] x^2 [/mm] +7x -2) //nur pos.
Quadriere dann noch und erhalte:
[mm] y^2 [/mm] = 2.25 - [mm] 3*sqrt(2.25-x^2 [/mm] + 7x -2) + [mm] 2.25x^2 [/mm] + 7*x -2
K2: analog
[mm] V_1 [/mm] = [mm] \Pi [/mm] * [mm] \integral_{0.3}^{3}{k1 dx}
[/mm]
[mm] V_2 [/mm] = [mm] \Pi [/mm] * [mm] \integral_{3}^{3.69}{k2 dx}
[/mm]
V= [mm] V_1 [/mm] + [mm] V_2 [/mm] = 22.43 VE
danke nochmal für die Hilfe :)
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Hallo,
> Hi!
>
> Also die 1. Kreis schneidet die x- Achse bei 0.3 und 6.7.
> Deshalb kann ich das integral nicht von 0 "weglaufen"
> lassen ;)
Das ist gleich in mehrerer Hinsicht falsch. Deine Werte sind gerundet und insofern nicht zu gebrauchen. Deine Logik ist falsch. Der zweite Kreis verläuft im Intervall [0;3) oberhalb des ersten, also ist er dort Beradnungskurve der gesuchten Fläche. Lies die Aufgabe gründlicher durch!
>
> Der rechte schnittpunkt von k1 liegt bei 3.69, da hat sich
> bei der Lösungsformel ein Vorzeichen fehler
> eingeschlichen.
>
> Jedenfalls hab ichs mit einem Kollegen dann so gelöst:
>
> für k1:
>
> [mm]y^2[/mm] + 3y [mm]+(x^2[/mm] -7x +2) = 0
>
> dann mit kleiner lösungsformel auf
>
> [mm]y_{1,2}=[/mm] -1.5 + sqrt(2.25 - [mm]x^2[/mm] +7x -2) //nur pos.
>
> Quadriere dann noch und erhalte:
>
> [mm]y^2[/mm] = 2.25 - [mm]3*sqrt(2.25-x^2[/mm] + 7x -2) + [mm]2.25x^2[/mm] + 7*x -2
>
> K2: analog
>
>
> [mm]V_1[/mm] = [mm]\Pi[/mm] * [mm]\integral_{0.3}^{3}{k1 dx}[/mm]
>
> [mm]V_2[/mm] = [mm]\Pi[/mm] * [mm]\integral_{3}^{3.69}{k2 dx}[/mm]
>
> V= [mm]V_1[/mm] + [mm]V_2[/mm] = 22.43 VE
>
> danke nochmal für die Hilfe :)
Das ist wie gesagt alles komplett falsch, wenn du aber damit zufrieden bist: dann bitte...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mo 19.05.2014 | | Autor: | nero08 |
Mag sein, dass die Werte gerundet sind und hierduch ungenau, aber ich will ja das Flächenstück, welches von k1 und k2 , sowie den 1.Quadranten eingeschlossen wird. Also muss ich die Grenzen so wählen.
So wíe du es beschreibst bekomme ich die gesamte fläche der kreise im 1.Quadranten.
in der übung haben wirs heute auch so gerechnet, also denk ich, dass es auch so gemeint war mit den grenzen...
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
wenn das so ist wie du schreibst: dann ist entweder die Aufgabe ziemlich dusselig bis blödsinnig formuliert, oder (und das ist meine Vermutung): du hast sie verbal irgendwie umformuliert, ohne die Konsequenzen zu bedenken. Jedenfalls passen eure Rechnung und der Text im Themenstart nicht zusammen.
Zu der Tatsache, dass man angeblich heutzutage in Seminarübungen zur Analytischen Geometrie/Analysis mit gerundeten Werten rechnet, sage ich jetzt mal besser nichts...
Gruß, Diophant
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