Ringstrukturen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Lösen Sie die folgende Gleichung in [mm] \IZ_{n}/ 5\IZ
[/mm]
[mm] x^3+\overline{3}x+ \overline{1}= \overline{0}
[/mm]
2. Berechnen Sie [mm] (\overline{5})^i [/mm] in [mm] \IZ/ 13\IZ.
[/mm]
3. Zeigen Sie: Für alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
3|n [mm] \gdw [/mm] Die Quersumme von n ist durch 3 teilbar
4. Gibt es ein Kriterium analog zu dem in der Frage 3 für 11?
Ist 123456789987654321123456789987654321123456789987654321 durch 11 teilbar? |
Hallo! Wir nehmen gerade Körperereiterungen durch, insbesondere die Ringstruktur auf [mm] \IZ [/mm] /n [mm] \IZ. [/mm] Ich habe leider mehrere Fragen:
Zu 1.) Was genau bedeutet es wenn über den Zahlen ein "quer" steht? Und: Bedeutet [mm] \IZ/ 5\IZ, [/mm] dass darin alle natürlichen Zahlen enthalten sind, die durch 5 teilbar sind?
Und: Welche Auswirkungen hat das auf mein Gleichungssystem?
Im Moment habe ich keine Idee für 2. und 4. (Ich weiß nicht, wie ich da ranzugehen habe)
Ich hoffe, dass ich nicht zu viele Fragen gestellt habe... Es wäre schön, wenn ihr mir helfen würdet! LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 16.04.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> 1. Lösen Sie die folgende Gleichung in [mm]\IZ_{n}/ 5\IZ[/mm]
>
> [mm]x^3+\overline{3}x+ \overline{1}= \overline{0}[/mm]
> 2. Berechnen
> Sie [mm](\overline{5})^i[/mm] in [mm]\IZ/ 13\IZ.[/mm]
> 3. Zeigen Sie: Für
> alle n [mm]\in \IN:[/mm]
> 3|n [mm]\gdw[/mm] Die Quersumme von n ist durch
> 3 teilbar
> 4. Gibt es ein Kriterium analog zu dem in der Frage 3 für
> 11?
> Ist 123456789987654321123456789987654321123456789987654321
> durch 11 teilbar?
> Wir nehmen gerade Körperereiterungen durch,
> insbesondere die Ringstruktur auf [mm]\IZ[/mm] /n [mm]\IZ.[/mm] Ich habe
> leider mehrere Fragen:
> Zu 1.) Was genau bedeutet es wenn über den Zahlen ein
> "quer" steht? Und: Bedeutet [mm]\IZ/ 5\IZ,[/mm] dass darin alle
> natürlichen Zahlen enthalten sind, die durch 5 teilbar
> sind?
> Und: Welche Auswirkungen hat das auf mein
> Gleichungssystem?
[mm] \IZ/5\IZ [/mm] ist eine Menge von Mengen, nämlich die Menge der Restklassen modulo 5. Jede natürliche Zahl ist in einer davon ein Element, und [mm] \overline{5} [/mm] ist diejenige, in der die 5 liegt. In derselben liegen z. B. auch 0 und 10 und -100. Mit diesen Mengen kann ich jetzt so 'rechnen' wie mit Zahlen, das ist das etwas lax so genannte modulo-Rechnen.
Da es in 1. nur 5 Restklassen gibt, kannst du einfach eine Wertetabelle erstellen.
> Im Moment habe ich keine Idee für 2. und 4. (Ich weiß
> nicht, wie ich da ranzugehen habe)
Bei 2. empfehle ich, mal ein paar kleine Werte für i einzusetzen.
Bei 4. braucht man die alternierende Quersumme, also immer abwechselnd + und - (als Tip).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Erstmal ein riesen DANKE!
"Da es in 1. nur 5 Restklassen gibt" : ´Soll ich für x dann alle Zahlen von 1 bis 5 einsetzen? Oder Zahlen, die 5 als Teiler haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> "Da es in 1. nur 5 Restklassen gibt" : ´Soll ich für x
> dann alle Zahlen von 1 bis 5 einsetzen? Oder Zahlen, die 5
> als Teiler haben?
Die 5 Restklassen sind
[mm] \overline{0} [/mm] = {0, +5, -5, +10, -10, ...}
[mm] \overline{1} [/mm] = {..., -9, -4, 1, 6, 11, ...}
[mm] \overline{2} [/mm] = {..., -8, -3, 2, 7, 12, ...}
[mm] \overline{3} [/mm] = {..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}
[mm] \overline{4} [/mm] = {..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}
Du nimmst jetzt aus jeder ein Element (einen 'Vertreter'), setzt ihn ein und guckst, in welcher Restklasse das Ergebnis liegt. Gesucht ist das Ergebnis [mm] \overline{0}. [/mm] Mach mal!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hm...Kannst du mir bitte nochmal erklären, wie man auf die Restklassen kommt und woran man erkennt, dass z.B. -4 in der Restklasse 1 liegt?
Ich habe das Element 5 aus der Restklasse 0 gewählt. Dieses habe ich dann für x eingesetzt, dann steht da:
[mm] 5^3+ \overline{3}x+ \overline{1}= \overline{0}
[/mm]
-Ist das erstmal so richtig eingesetzt?
- Wenn ja, wie rechne ich mit 3 quer, 1 quer und 0 quer weiter?
Ich weiß, ich bin anstrengend ;o) Danke dir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
> Hm...
Auch hmm...
> Kannst du mir bitte nochmal erklären, wie man auf die
> Restklassen kommt und woran man erkennt, dass z.B. -4 in
> der Restklasse 1 liegt?
Weil -4 bei ganzzahliger Division durch 5 den Rest 1 läßt: -4 = (-1)*5 + 1
> Ich habe das Element 5 aus der Restklasse 0 gewählt. Dieses
> habe ich dann für x eingesetzt, dann steht da:
> [mm]5^3+ \overline{3}x+ \overline{1}= \overline{0}[/mm]
0 wäre doch viel einfacher gewesen. Außerdem ist da noch ein x übergeblieben. Und aus der Restklasse [mm] \overline{3} [/mm] nimmst du natürlich die 3 als Vertreter, aus der [mm] \overline{1} [/mm] die 1, und dann rechnest du los und erhältst eine Zahl, und von dieser Zahl nimmst du wieder die zugehörige Restklasse.
> -Ist das erstmal so richtig eingesetzt?
> - Wenn ja, wie rechne ich mit 3 quer, 1 quer und 0 quer
> weiter?
s. o.
> Ich weiß, ich bin anstrengend ;o)
Wie soll'ch das nun politisch korrekt kommentieren?
Gruß aus dem Norden
Dieter
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wenn ich aus der restklasse 1 das element 1 wähle, bekomme ich [mm] 5=\overline{0} [/mm] raus und das ist ja wahr!? Folgt dann daraus, dass die Lösung des GLS 1 ist?
Woran erkenne ich, welche Elemente in welcher restklasse sind?
Lieben Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
> wenn ich aus der restklasse 1 das element 1 wähle, bekomme
> ich [mm]5=\overline{0}[/mm] raus und das ist ja wahr!?
Das ist falsch hingeschrieben, weil 5 eine Zahl ist und [mm] \overline{0} [/mm] eine Menge, da kann kein Gleichheitszeichen stehen!
Es muß 5 [mm] \in \overline{0} [/mm] heißen oder [mm] \overline{5} [/mm] = [mm] \overline{0}.
[/mm]
> Folgt dann
> daraus, dass die Lösung des GLS 1 ist?
Nein, daraus folgt, daß [mm] \overline{1} [/mm] eine Lösung der Gleichung ist. Mach mal die Wertetabelle für alle 5 Restklassen, bitte.
> Woran erkenne ich, welche Elemente in welcher restklasse
> sind?
Indem durch sie durch 5 teilst und guckst, welcher Rest bleibt.
Gruß
Dieter
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Ich muss vorher nochmal nerven: Was soll ich jetzt genau durch 5 teilen? Welche Zahlen genau? Angenommen ich habe meine Restklasse 0. Ich meine, du hattest geschrieben, dass darin die 0,5,-5,10,-10,... enthalten sind. Woher weiß man dann, dass die Zahlen die richtigen ELemente der Restklasse sind?
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>Was soll ich jetzt genau
> durch 5 teilen? Welche Zahlen genau?
Hallo!
Ich las:
Monsterzicke: "Woran erkenne ich, welche Elemente in welcher Restklasse
sind?"
stadler: "Indem du sie durch 5 teilst und guckst, welcher Rest bleibt."
Also mußt Du das Element, von welchem Du wissen willst, in welcher Restklasse es liegt, durch 5 teilen und den Rest angucken.
> Angenommen ich habe
> meine Restklasse 0. Ich meine, du hattest geschrieben, dass
> darin die 0,5,-5,10,-10,... enthalten sind. Woher weiß man
> dann, dass die Zahlen die richtigen ELemente der Restklasse
> sind?
1. Weil es diejenigen ganzen Zahlen sind, die bei der Division durch 5 den Rest 0 lassen.
2. Weil man sich damit vertraut gemacht hat, wie [mm] \IZ_5 [/mm] bzw. [mm] \IZ [/mm] / 5 [mm] \IZ [/mm] erklärt wurden.
Nochmal:
wenn wir die Restklassen modulo 5 betrachten, enthält
- [mm] \overline{0} [/mm] alle ganzen Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 0 lassen,
- [mm] \overline{1} [/mm] alle ganzen Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 1 lassen,
- [mm] \overline{2} [/mm] alle ganzen Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 2 lassen,
- [mm] \overline{3} [/mm] alle ganzen Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 3 lassen,
- [mm] \overline{4} [/mm] alle ganzen Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 4 lassen.
Will ich wissen, in welche Restklasse modulo 5 die 4711 gehört, rechne ich 4711:5=942 Rest 1 und weiß somit: 4711 [mm] \in \overline{1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Juchu! Ich habs verstanden!!! Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Mi 18.04.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ich muss vorher nochmal nerven: Was soll ich jetzt genau
> durch 5 teilen? Welche Zahlen genau? Angenommen ich habe
> meine Restklasse 0.
Deine Fragen sind ja beantwortet, ich wollte nur noch nachtragen, daß du erstmal noch penibel unterscheiden solltest zwischen der Restklasse [mm] \overline{0} [/mm] (das ist eine Menge) und den Elementen in derselben; letztere sind ganze Zahlen wie z. B. 0 und 10 und 100.
Wenn man den Kram im Griff hat, darf man wieder laxer werden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hi! Also ich habe jetzt eine Wertetabelle gemacht, für die Restklassen 0-4.
Für die R-Klasse 0 habe ich das Element 0 in die Gleichung für x eingesetzt und bekomme heraus:
1= [mm] \overline{0} [/mm] Dieses müsste falsch sein, da 1 ja kein Element in [mm] \overline{0} [/mm] ist.
Für [mm] \overline{1} [/mm] habe ich das Element 1 gewählt: [mm] 5=\overline{0} [/mm] ist wahr.
Für [mm] \overline{2} [/mm] das Element 2: [mm] 10=\overline{0} [/mm] ist falsch
Für [mm] \overline{3} [/mm] das El. 3: [mm] 37=\overline{0}
[/mm]
Für [mm] \overline{4} [/mm] das El. 4: [mm] 77=\overline{0} [/mm] ? Jetzt sehe ich ja eigentlich, dass [mm] \overline{1} [/mm] die einzige richtige Lösung ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 18.04.2007 | | Autor: | statler |
> Hi! Also ich habe jetzt eine Wertetabelle gemacht, für die
> Restklassen 0-4.
> Für die R-Klasse 0 habe ich das Element 0 in die Gleichung
> für x eingesetzt und bekomme heraus:
> 1= [mm]\overline{0}[/mm] Dieses müsste falsch sein, da 1 ja kein
> Element in [mm]\overline{0}[/mm] ist.
> Für [mm]\overline{1}[/mm] habe ich das Element 1 gewählt:
> [mm]5=\overline{0}[/mm] ist wahr.
> Für [mm]\overline{2}[/mm] das Element 2: [mm]10=\overline{0}[/mm] ist
> falsch
Das sehe ich anders!
> Für [mm]\overline{3}[/mm] das El. 3: [mm]37=\overline{0}[/mm]
> Für [mm]\overline{4}[/mm] das El. 4: [mm]77=\overline{0}[/mm] ? Jetzt sehe
> ich ja eigentlich, dass [mm]\overline{1}[/mm] die einzige richtige
> Lösung ist?
Nee! Und als Beispiel für die richtige Schreib- und Sprechweise: Für die Restklasse [mm] \overline{3} [/mm] nehme ich als Vertreter die 3 und finde für den Wert des Polynoms 37, was in der Restklasse [mm] \overline{2} [/mm] liegt und nicht in [mm] \overline{0}.
[/mm]
Gruß
Dieter
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Zur schreibweise: Ok, verstehe ich.
Zur Lösung: Ich bin verwirrt. Was ist denn jetzt die Lösung? nicht r-klasse 1?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 18.04.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Zur schreibweise: Ok, verstehe ich.
> Zur Lösung: Ich bin verwirrt. Was ist denn jetzt die
> Lösung? nicht r-klasse 1?
Die auch, aber 2 ebenfalls: 2 gibt eingesetzt 15, und 15 [mm] \in \overline{0}.
[/mm]
Du kannst mal spaßhalber nachrechnen, daß
[mm] x^{3} [/mm] + 3x + 1 [mm] \equiv [/mm] (x - 1)*(x - [mm] 2)^{2} [/mm] modulo 5
ist. Daran erkennst du die Lösungen sofort.
Ciao, ich geh gleich offline.
Dieter
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Ok, ich danke! Ich habe öfter mal Fragen ;o)
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Allgemein zu Rechnungen mit Restklassen:
Beispiel: Restklassen [mm] \IZ/13\IZ
[/mm]
Stelle dir vor, du würdest nur mit natürlichen Zahlen inclusive 0 wie bisher rechnen. Am Ende einer jeden Rechnung - oder auch schon zwischendurch - verwandelst du das Ergebnis in den Rest, den du beim Dividieren durch 13 erhältst.
Beispiel: (Du kannst auf jede Zahl einen Strich setzen, ich lasse ihn hier weg)
5=5
2*5= 10
3*5=15=2, weil 15:13=1 REST 2 ist
4*5=20=7, weil 20:13=1 REST 7 ist
5*5=25=12, weil 20:13=1 REST 12 ist
6*5=30=4, weil 30:13=2 REST 4 ist usw.
[mm] 5^1=5
[/mm]
[mm] 5^2=25=12, [/mm] weil 25:13=1 REST 12 ist
[mm] 5^3=125=8, [/mm] weil 125:13=9 REST 8 ist
[mm] 5^4=625=1, [/mm] weil 625:13=48 REST 1 ist
Jetzt wird es interessant:
[mm] 5^5=5*5^4=5*1 [/mm] (weil ja [mm] 5^4=1 [/mm] ist)=5
[mm] 5^6=5*5^5=5*5=25=12
[/mm]
[mm] 5^7=5*5^6=5*12=60=8, [/mm] weil 60:13=4 REST 8 ist
usw.
Du erhältst der Reihe nach 5,12,8,1,5,12,8,1,5,12,8,1,5,12,8,1,...
Bemerkung: lässt man auch negative Werte zu, so ist 12=-1, 11=-2 usw.
Demnach ist 12*12=(-1)*(-1)=1
(144:13=11 REST 1)
Zur Quersummenregel:
Rechne modulo 9 (also mit [mm] \IZ/9\IZ).
[/mm]
Dann ist 10=1 (9*1+1),
100=1 (99*1+1),
1000=1 (999*1+1),
10000=1 (9999*1+1) usw.
und damit jede Zahl im Zehnersystem der Form
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}*10^{i}=\summe_{i=1}^{n}a_{i}*1=Quersumme
[/mm]
Ist nun die Quersumme durch 9 teilbar, so ist sie =0 (n*9 REST 0), sonst nicht 0. Das aber heißt nach obiger Gleichung:
Ist sie gleich 0, so ist auch der Ausdruck [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}*10^{i}=0, [/mm] also durch 9 teilbar, sonst nicht.
Somit: Zahl durch 9 teilbar [mm] \gdw [/mm] Quersumme (im Zehnersystem) durch 9 teilbar.
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Wow! Danke! Das hat mir wirklich weitergeholfen. Ich werde es mir morgen nochmal ansehen und noch genauer durchgehen, aber ich habe zumindest das gefühl, dichverstanden zu haben!
Hast du eine Idee, worauf ich bei 4. achten sollte?
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Wir rechnen modulo 11:
1=1
10=-1
100=10*10=(-1)*(-1)=1
1000=(-1)(-1)(-1)=-1
usw. immer abwechselnd 1 und -1. Das bedeutet nun für eine Zahlendarstellung im Dezimalsystem:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}*10^{i}=\summe_{i=1}^{n}a_{i}*(-1)(-1)^{i}=(Summe [/mm] aller Ziffern mit geradem i) -(Summe aller Ziffern mit ungeradem i)
Ist das Ergebnis durch 11 teilbar, ergibt das hier wegen der Rest-Rechnung wieder 0; dann war auch die Restrechung für die Ausgangszahl 0, diese also auch durch 11 teilbar.
Falls Ergebnisnicht durch 11 tb., ist es die Ausgangszahl auch nicht.
Beispiel:354519 ergibt (9+5+5)-(1+4+3) 19-8=11=0.
354519:11=32229
Man muss nicht unbedingt hinten anfangen mit der Aufsummiererei, evtl. hat man ein falsches Vorzeichen:
376717 ergibt ganz korrekt (7+7+7)-(1+6+3)=21-10=11=0, genauso gut geht (3+6+1)-(7+7+7)=-11=0
376717:11=34247
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Es tut mir leid, dass ich dich/euch mit so vielen Fragen überhäufe, aber ich habs noch nicht gánz gerafft..
"1=1
10=-1
100=10*10=(-1)*(-1)=1
1000=(-1)(-1)(-1)=-1 "
wieso das ganze? Wie komme ich auf 1=1 oder meinst du [mm] 1=\overline{1}??
[/mm]
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> Es tut mir leid, dass ich dich/euch mit so vielen Fragen
> überhäufe, aber ich habs noch nicht gánz gerafft..
> "1=1
> 10=-1
> 100=10*10=(-1)*(-1)=1
(> 1000=(-1)(-1)(-1)=-1 "
>
> wieso das ganze? Wie komme ich auf 1=1 oder meinst du
> [mm]1=\overline{1}??[/mm]
Hallo,
hier möchte ich zunächst Dieter zitieren, welcher in seinem Hinweis von heute morgen schrieb:
"...ich wollte nur noch nachtragen, daß du erstmal noch penibel unterscheiden solltest zwischen der Restklasse $ [mm] \overline{0} [/mm] $ (das ist eine Menge) und den Elementen in derselben; letztere sind ganze Zahlen wie z. B. 0 und 10 und 100."
Später "schlampt" man i.d.R., aber für den Anfang, vor allem, wenn man es noch nicht richtig geschnallt hat, ist es äußerst hilfreich, ganz genau zwischen
-den Restklassen
-den Elementen der Restklassen
-gleichen Restklassen
-gleichen Elementen
-Elementen der gleichen Restklassen
zu unterscheiden.
Betrachten wir jetzt Restklassen modulo 11.
Es ist [mm] \overline{4}=\overline{15}.
[/mm]
Warum ist das so? Weil in beiden Mengen dieselben Elemente liegen.
diejenigen ganzen Zahlen, die man schreiben kann als x*11+4 kann man auch schreiben als y*11+15.
Die 4 und die 15 sind Repräsentanten ein und derselben Restklasse.
Natürlich gilt nicht 4=15, denn 4 Kartoffeln sind nicht genausoviel wie 15 Kartoffeln.
Aber 4 und 15 liegen in derselben Restklasse modulo 11. Man sagt: sie sind kongruent, und man schreibt: [mm] 4\equiv [/mm] 15 mod 11.
> "1=1
Was soll man dazu sagen. Natürlich ist 1=1.
Es ist ebenso natürlich [mm] \overline{1}=\overline{1}.
[/mm]
Außerdem 1 [mm] \in \overline{1}.
[/mm]
Und auch 1 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 11.
> 10=-1
Hier ist gemeint
[mm] \overline{10}=\overline{-1}.
[/mm]
Auch 10 [mm] \equiv [/mm] -1 mod 11 wäre richtig.
> 100=10*10=(-1)*(-1)=1
[mm] \overline{100}=\overline{10}*\overline{10}=\overline{-1}*\overline{-1}=\overline{1}
[/mm]
Natürlich ist 100=10*10.
Aber es ist nicht 100=1.
Jedoch stimmt 100 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 11.
(HJKweseleit hat das nicht "falsch" gemacht, sondern mit der Unbekümmertheit, die man sich leistet und leisten kann, wenn man es richtig verstanden hat.)
Gruß v. Angela
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Ich schon wieder, sorry!
Beispiel:354519 ergibt (9+5+5)-(1+4+3) 19-8=11=0.
354519:11=32229
was sind das? Elemente oder Restklassen??? Wie kommt man bei einer so großen Zahl darauf und wie soll ich bei meiner riesengroßen Zahl darauf kommen? Ich kapier das einfach nicht
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> Ich schon wieder, sorry!
> Beispiel:354519 ergibt (9+5+5)-(1+4+3) 19-8=11=0.
> 354519:11=32229
> was sind das? Elemente oder Restklassen??? Wie kommt man
> bei einer so großen Zahl darauf und wie soll ich bei meiner
> riesengroßen Zahl darauf kommen? Ich kapier das einfach
> nicht
Hallo,
HJKweseleit hat ja vorgerechnet, daß
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}\cdot{}10^{i}\equiv \summe_{i=1}^{n}a_{i}\cdot{}(-1)(-1)^{i}=(Summe [/mm] $ aller Ziffern mit geradem i) -(Summe aller Ziffern mit ungeradem i) mod 11,
wie man also aus den Ziffern im Dezimalsystem erfährt, in welcher Restklasse modulo 11 eine vorgegebene Zahl liegt.
Also ist 354519 [mm] \equiv [/mm] (9+5+5)-(1+4+3) 19-8 =11 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 11,
d.h. 354519 [mm] \in \overline{0} [/mm] (oder auch [mm] \overline{354519}=\overline{0})
[/mm]
Deine Rechnung
> 354519:11=32229
bestätigt das: kein Rest beim Dividieren durch 11.
Gruß v. Angela
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Also wäre zu diesem Beispiel [mm] 5^2=25=\overline{12} [/mm] also die [mm] 5^2 [/mm] in der Restklasse 12?
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> Also wäre zu diesem Beispiel [mm]5^2=25=\overline{12}[/mm] also die
> [mm]5^2[/mm] in der Restklasse 12?
Hallo,
im Beispiel geht's um die Restklassen modulo 13.
Ganz sicher stimmt [mm] 25=\overline{12} [/mm] NICHT!!!!
Da kann ja gar nicht sein. Links haben wir eine Zahl, die 25. Rechts haben wir eine Menge von ganzen Zahlen, die, die bei der Division mit 13 den Rest 12 lassen. [mm] \overline{12}=\{ 12, -1, 25, -14, 38, -27,...}.
[/mm]
Was jedoch stimmt: es ist 25 [mm] \in \overline{12}.
[/mm]
Weiter: 25 [mm] \equiv [/mm] 12 mod 13
25 [mm] \equiv [/mm] -27 mod 13.
Gruß v. Angela
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Wäre dann die Restklasse von [mm] 5^2 [/mm] 12?
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> Wäre dann die Restklasse von [mm]5^2[/mm] 12?
[mm] 5^2 \in \overline{12}.
[/mm]
Außerdem stimmt [mm] \overline{25}=\overline{12}, [/mm] denn beide Mengen enthalten dieselben Elemente.
Gruß v. Angela
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Bemerkung: lässt man auch negative Werte zu, so ist 12=-1, 11=-2 usw.
Demnach ist 12*12=(-1)*(-1)=1
(144:13=11 REST 1)
--> das habe ich leider noch nicht verstanden....
Zur Quersummenregel: das war für Aufgabe 3 oder?
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> Bemerkung: lässt man auch negative Werte zu, so ist 12=-1,
> 11=-2 usw.
>
> Demnach ist 12*12=(-1)*(-1)=1
> (144:13=11 REST 1)
> --> das habe ich leider noch nicht verstanden....
Wir sind immer noch modulo 13.
Hier ist [mm] \overline{12}=\overline{-1},
[/mm]
wovon Du Dich überzeugen kannst, wenn Du Dir die Elemente der beiden Mengen anschaust.
[mm] \overline{12}*\overline{12}=\overline{-1}*\overline{-1}=\overline{1},
[/mm]
wenn Du Zweifel hast, schau Dir an, welche Elemente in den Mengen sind und wie das Rechnen mit Restklassen erklärt ist.
Gruß v. Angela
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was genau muss ich in meiner aufgabe betrachten: dass n durch 3 teilbar ist, oder 3 durch n? Und wie geht das dann?
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Wenn du es so besser verstehst, denke dir jetzt auf jede meiner Zahlen einen Restklasse-Strich!
Ich rechne modulo 3.
Es ist 1=1 (klar, denk nicht drüber nach, dient nur der Vollständigkeit)
10=1 (da 10 beim Teilen durch 3 den Rest 1 lässt, da 9+1),
100=1 (da 100 beim Teilen durch 3 den Rest 1 lässt, da 99+1),
1000=1 (da 1000 beim Teilen durch 3 den Rest 1 lässt, da 999+1),
usw.
Jetzt ein Zahlenbeispiel:
45678=4*10000+5*1000+6*100+7*10+8*1=4*1+5*1+6*1+7*1+8*1
(wir rechnen in/mit Restklassen, ersetzen also 10000,1000,100,10,1 jeweils durch 1)...= 4+5+6+7+8
Restklassenbetrachtet liegt also 456789 in der selben Restklasse wie 4+5+6+7+8=Quersumme=30=0 und ist somit durch 3 teilbar.
Bei modulo 11 ergeben sich für 1,10,100,1000 usw. immer Gleichheiten mit abwechselnd -1 und +1. Hier müsstest du also schreiben (modulo 11):
45678=4*10000+5*1000+6*100+7*10+8*1=4*1+5*(-1)+6*1+7*(-1)+8*1
=4+6+8 (immer die übernächste3n mit +1 zusammengefasst) -(5+7) (die übersprungenen mit dem -Zeichen zusammengefasst)=18-12=6
Also liegen 45678 und 6 in der selben Restklasse bzgl. 11:
45678:11=4152 Rest 6
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