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| Aufgabe | Es seien $A,B$ Teilmengen einer Menge $X$. Man beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind
1. $A [mm] \subset [/mm] B$
2. $A [mm] \cap [/mm] B = A$
3. $A [mm] \cup [/mm] B = B$
4. $A [mm] \cap [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] B) = [mm] \emptyset [/mm] $
5. [mm] $(X\backslash [/mm] A) [mm] \cup [/mm] B = X $ |
Beweis durch Ringschluss:
1 [mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \gdw [/mm] 3 [mm] \gdw [/mm] 4 [mm] \gdw [/mm] 5 [mm] \gdw [/mm] 1
1. §A [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A$
Wenn $A$ eine Teilmenge von $B$ ist, so gilt, dass jedes Element von $A$ auch ein Element von $B$ sein muss. Dementsprechend muss der Schnitt alle Elemente von $A$ enthalten und ist somit gleich $A$.
2. $A [mm] \cap [/mm] B = A [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B$
Wenn der Schnitt von $A$ und $B$ gleich $A$ ist, so kann man daraus schließen, dass jedes Element von $A$ auch in $B$ liegt. Dementsprechend ist die Vereinigung der beiden Mengen gleich der Obermenge, d.h. gleich $B$.
3. $A [mm] \cup [/mm] B = B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap (X\backslash [/mm] B) = [mm] \emptyset$
[/mm]
Wenn A [mm] \cup [/mm] B = B so liegt jedes Element von A in B. A und B sind Teilmengen von X. X ohne B hat dementsprechend auch kein Element von A. Daraus folgt, dass die beiden Mengen disjunkt sind.
4. $A [mm] \cap (X\backslash [/mm] B) = [mm] \emptyset \Rightarrow (X\backslash [/mm] A) [mm] \cup [/mm] B = X$
A und B sind Teilmengen von X. Wenn X ohne B disjunkt zu A ist, kann man daraus schließen, dass alle Elemente von A in B enthalten sind. Dementsprechend fügt man diese durch die Vereinigung von X ohne A mit B hinzu und erhält wieder X.
5. [mm] $(X\backslash [/mm] A) [mm] \cup [/mm] B = X [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subset [/mm] B$
Da die Vereinigung von X ohne A mit B wieder X ergibt. A und B Teilmengen von X sind, müssen alle Elemente von A in B enthalten sein. Also ist A eine Teilmenge von B.
[mm] \Box
[/mm]
Kann ich das so beweisen oder befinden sich da Fehler oder Ungenauigkeiten drin. Wie kann ich es besser machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mi 16.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Es seien [mm]A,B[/mm] Teilmengen einer Menge [mm]X[/mm]. Man beweise, dass
> folgende Aussagen äquivalent sind
>
> 1. [mm]A \subset B[/mm]
> 2. [mm]A \cap B = A[/mm]
> 3. [mm]A \cup B = B[/mm]
> 4. [mm]A \cap (X \backslash B) = \emptyset[/mm]
>
> 5. [mm](X\backslash A) \cup B = X[/mm]
> Beweis durch Ringschluss:
> 1 [mm]\gdw[/mm] 2 [mm]\gdw[/mm] 3 [mm]\gdw[/mm] 4 [mm]\gdw[/mm] 5 [mm]\gdw[/mm] 1
Bei Ringschluss machste ja nur [mm] $\Rightarrow$, [/mm] also schreib nicht [mm] $\gdw$.
[/mm]
> 1. §A [mm]\subset[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] B = A$
> Wenn [mm]A[/mm] eine Teilmenge von [mm]B[/mm] ist, so gilt, dass jedes
> Element von [mm]A[/mm] auch ein Element von [mm]B[/mm] sein muss.
> Dementsprechend muss der Schnitt alle Elemente von [mm]A[/mm]
> enthalten und ist somit gleich [mm]A[/mm].
>
> 2. [mm]A \cap B = A \Rightarrow A \cup B = B[/mm]
> Wenn der Schnitt
> von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] gleich [mm]A[/mm] ist, so kann man daraus schließen,
> dass jedes Element von [mm]A[/mm] auch in [mm]B[/mm] liegt. Dementsprechend
> ist die Vereinigung der beiden Mengen gleich der Obermenge,
> d.h. gleich [mm]B[/mm].
>
> 3. [mm]A \cup B = B \Rightarrow A \cap (X\backslash B) = \emptyset[/mm]
>
> Wenn A [mm]\cup[/mm] B = B so liegt jedes Element von A in B. A und
> B sind Teilmengen von X. X ohne B hat dementsprechend auch
> kein Element von A. Daraus folgt, dass die beiden Mengen
> disjunkt sind.
>
> 4. [mm]A \cap (X\backslash B) = \emptyset \Rightarrow (X\backslash A) \cup B = X[/mm]
>
> A und B sind Teilmengen von X. Wenn X ohne B disjunkt zu A
> ist, kann man daraus schließen, dass alle Elemente von A in
> B enthalten sind. Dementsprechend fügt man diese durch die
> Vereinigung von X ohne A mit B hinzu und erhält wieder X.
>
> 5. [mm](X\backslash A) \cup B = X \Rightarrow A \subset B[/mm]
> Da
> die Vereinigung von X ohne A mit B wieder X ergibt. A und B
> Teilmengen von X sind, müssen alle Elemente von A in B
> enthalten sein. Also ist A eine Teilmenge von B.
> [mm]\Box[/mm]
>
> Kann ich das so beweisen oder befinden sich da Fehler oder
> Ungenauigkeiten drin. Wie kann ich es besser machen?
Die Beweise sind alle richtig, jedoch zwei Anmerkungen.
1) Man sieht dass du verstanden hast warum das alles funktioniert, aber deine Argumente sind im Grunde "der gesunde Menschenverstand". Wenn du es formaler aufschreiben würdest, also nur mit [mm] $\Leftarrow,\Rightarrow,\gdw,\vee,\wedge,\forall,\exists,\in,\cap,\cup,\subset$ [/mm] usw. wäre es mathematisch sauberer, da man dann gezeigt hat, dass es wirklich auch aus den formalen Definitionen folgt.
2) Du willst einen Ringschluss machen. Das ist immer gut, denn so hast du die minimale Anzahl an Implikationen zu zeigen. Aber wenn du dir deine Beweise mal anguckst zeigst du eigentlich in jedem Schritt zunächst [mm] $A\subset [/mm] B$ und dann erst die Behauptung. Ich mein da is nichts gegen einzuwenden, aber lustig ist es irgendwie schon, dann hättest du ja auch gleich schreiben können: "Ich zeige, aus allem folgt (1), und aus (1) folgt alles"
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