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Ringintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Mi 18.04.2012
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Berechne das Ringintegral mit gegebener Funktion $f(z) = [mm] z^3+1$ [/mm] und Weg [mm] $\gamma [/mm] = [mm] \Delta [/mm] (1+i, -1+i, -i)$


Hallo, steh grad etwas auf der Leitung und bräuchte bitte eure Hilfe.

Der Weg beschreibt doch ein Dreieck, wobei 1+i, -1+i und -i die Eckpunkte darstellen.
Von diesem Dreieck muss ich nun die Geradengleichungen finden..

Jene Gerade die vom Punkt -1+i zum Punkt 0-i verläuft besitzt doch folgende Geradengleichung:

[mm] \gamma_1 [/mm] = -2*i*x-i, Gerade der Punkte (-1+i/0-i),
[mm] \gamma_2 [/mm] = i, Gerade der Punkte (-1+i/1+i)
[mm] \gamma_3 [/mm] = 2*i*x-i, Gerade der Punkte (-i/1+i)

Danach ich stelle ich die Integrale laut Definition  mit folgenden Grenzen auf:
[mm] \gamma_1 [/mm] -> Integration von -1 bis 0
[mm] \gamma_2 [/mm] -> Integration von -1 bis 1
[mm] \gamma_3 [/mm] -> Integration von 0 bis 1

mfg

Als Ergebnis bekomme ich 0 raus. Stimmt das?

        
Bezug
Ringintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:17 Do 19.04.2012
Autor: meili

Hallo,
> Berechne das Ringintegral mit gegebener Funktion [mm]f(z) = z^3+1[/mm]
> und Weg [mm]\gamma = \Delta (1+i, -1+i, -i)[/mm]
>  
> Hallo, steh grad etwas auf der Leitung und bräuchte bitte
> eure Hilfe.
>  
> Der Weg beschreibt doch ein Dreieck, wobei 1+i, -1+i und -i
> die Eckpunkte darstellen.

[ok]

>  Von diesem Dreieck muss ich nun die Geradengleichungen
> finden..
>  
> Jene Gerade die vom Punkt -1+i zum Punkt 0-i verläuft
> besitzt doch folgende Geradengleichung:
>  
> [mm]\gamma_1[/mm] = -2*i*x-i, Gerade der Punkte (-1+i/0-i),
> [mm]\gamma_2[/mm] = i, Gerade der Punkte (-1+i/1+i)
>  [mm]\gamma_3[/mm] = 2*i*x-i, Gerade der Punkte (-i/1+i)

Das ist schon der richtige Ansatz, aber Deine [mm] $\gamma_i$-Funktionen [/mm]
geben nur den imaginären Anteil der Zahlen,
die auf  den Verbindungsgeraden liegen.
Als reeller Anteil fehlt noch das x.
z.B.: [mm]\gamma_1(x)[/mm] = x-2*i*x-i, x [mm] \in [/mm] [-1;0] Verbindungsgerade der Punkte (-1+i/0-i),

>  
> Danach ich stelle ich die Integrale laut Definition  mit
> folgenden Grenzen auf:
>  [mm]\gamma_1[/mm] -> Integration von -1 bis 0

>  [mm]\gamma_2[/mm] -> Integration von -1 bis 1

> [mm]\gamma_3[/mm] -> Integration von 0 bis 1

Wichtig ist, dass Du bei einem Punkt des Dreiecks beginnst, und das
Dreieck einmal umläufst. Das bedeutet für die Integrationsgrenzen:
[mm]\gamma_1[/mm] -> Integration von 0 bis -1
[mm]\gamma_2[/mm] -> Integration von -1 bis 1
[mm]\gamma_3[/mm] -> Integration von 1 bis 0

>  
> mfg
>  
> Als Ergebnis bekomme ich 0 raus. Stimmt das?

[ok]
Sieh mal []Residuensatz.

Gruß
meili


Bezug
        
Bezug
Ringintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:41 Do 19.04.2012
Autor: fred97


> Berechne das Ringintegral mit gegebener Funktion [mm]f(z) = z^3+1[/mm]
> und Weg [mm]\gamma = \Delta (1+i, -1+i, -i)[/mm]
>  
> Hallo, steh grad etwas auf der Leitung und bräuchte bitte
> eure Hilfe.
>  
> Der Weg beschreibt doch ein Dreieck, wobei 1+i, -1+i und -i
> die Eckpunkte darstellen.
>  Von diesem Dreieck muss ich nun die Geradengleichungen
> finden..
>  
> Jene Gerade die vom Punkt -1+i zum Punkt 0-i verläuft
> besitzt doch folgende Geradengleichung:
>  
> [mm]\gamma_1[/mm] = -2*i*x-i, Gerade der Punkte (-1+i/0-i),
> [mm]\gamma_2[/mm] = i, Gerade der Punkte (-1+i/1+i)
>  [mm]\gamma_3[/mm] = 2*i*x-i, Gerade der Punkte (-i/1+i)
>  
> Danach ich stelle ich die Integrale laut Definition  mit
> folgenden Grenzen auf:
>  [mm]\gamma_1[/mm] -> Integration von -1 bis 0

>  [mm]\gamma_2[/mm] -> Integration von -1 bis 1

> [mm]\gamma_3[/mm] -> Integration von 0 bis 1
>  
> mfg
>  
> Als Ergebnis bekomme ich 0 raus. Stimmt das?

Ja, das folgt aus dem Lemma von Goursat.

FRED


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