Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mo 13.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Sei f: R [mm] \to [/mm] S ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie, dass f einen Ringisomorphismus R/ker f [mm] \cong [/mm] im f induiziert. |
Habe folgenden Ringisomorphismus definiert:
[mm] \varphi: [/mm] R/ker f [mm] \to [/mm] Im f
[mm] \varphi: [/mm] r + ker f [mm] \to [/mm] f(r).
Habe bereits gezeit, dass [mm] \varphi [/mm] wohldefiniert ist und dass [mm] \varphi [/mm] das neutrale Element auf das neutrale Element abbildet.
Weiter habe ich gezeigt, dass [mm] \varphi (r_1 [/mm] + ker f) + [mm] \varphi(r_2 [/mm] + ker f) = [mm] \varphi [/mm] ( [mm] r_1 [/mm] + ker f + [mm] r_2 [/mm] + ker f) gilt. Analog auch für die Multiplikation.
Nun muss ich noch die Bijektivität zeigen.
Für die Injektivität habe ich folgendes gedacht.
Sei f(r') = f(r).
[mm] \Rightarrow [/mm] f(r) - f(r') = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(r - r') = 0.
Ich möchte nun daraus schliessen, dass r - r' = 0 sein muss. Doch da f nur ein Homomorphismus und kein Isomorphismus ist, darf ich das nicht, oder?
Wie könnte ich denn sonst die Injektivität zeigen?
Für die Surjektivität habe ich an folgendes gedacht:
r + ker f sind Partitionen, decken also den ganzen Ring R ab. Also sind in f(r) alle Elemente aus dem Ring enthalten...!
Kann ich auf diese Weise vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Für die Injektivität habe ich folgendes gedacht.
> Sei f(r') = f(r).
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(r) - f(r') = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f(r - r') = 0.
> Ich möchte nun daraus schliessen, dass r - r' = 0 sein
> muss.
Naja, so falsch ist das nicht, aber du darfst nicht vergessen, dass das neutrale Element [mm] $0\in R/\ker [/mm] f$ was anderes als [mm] $0\in [/mm] R$ ist.
Zum Beweis der Injektivität ist zu zeigen [mm] $f(r)=f(r')\Rightarrow [/mm] [r]=[r']$, das ist was anderes als $r=r'$. Aus $f(r-r')=0$ folgt nur [mm] $r-r'\in\ker [/mm] f$. Wie geht es nun weiter?
> Für die Surjektivität habe ich an folgendes gedacht:
>
> r + ker f sind Partitionen, decken also den ganzen Ring R
> ab. Also sind in f(r) alle Elemente aus dem Ring
> enthalten...! Kann ich auf diese Weise vorgehen?
Das ist irgendwie ziemlich verworren. Du musst doch nur zeigen, dass es zu einem vorgegebenem [mm] $f(r)\in\operatorname{im} [/mm] f$ ein Element [mm] $x\in R/\ker [/mm] f$ gibt mit [mm] $\varphi(x)=f(r)$. [/mm] Das sollte nicht so schwierig sein wenn du dir die Definition von [mm] $\varphi$ [/mm] nochmal anschaust.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 13.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> Naja, so falsch ist das nicht, aber du darfst nicht
> vergessen, dass das neutrale Element [mm]0\in R/\ker f[/mm] was
> anderes als [mm]0\in R[/mm] ist.
> Zum Beweis der Injektivität ist zu zeigen
> [mm]f(r)=f(r')\Rightarrow [r]=[r'][/mm], das ist was anderes als
> [mm]r=r'[/mm]. Aus [mm]f(r-r')=0[/mm] folgt nur [mm]r-r'\in\ker f[/mm]. Wie geht es
> nun weiter?
r- r' [mm] \in [/mm] ker f,
sei h:= r - r' [mm] \Rightarrow [/mm] r = r' + h , h [mm] \in [/mm] ker f
[mm] \Rightarrow [/mm] r + ker f = r' ker f.
Wobei ich bei der letzten implikation nicht genau weiss, weshalb dies nun folgt...?
>
> > Für die Surjektivität habe ich an folgendes gedacht:
> >
> > r + ker f sind Partitionen, decken also den ganzen Ring R
> > ab. Also sind in f(r) alle Elemente aus dem Ring
> > enthalten...! Kann ich auf diese Weise vorgehen?
> Das ist irgendwie ziemlich verworren. Du musst doch nur
> zeigen, dass es zu einem vorgegebenem
> [mm]f(r)\in\operatorname{im} f[/mm] ein Element aus [mm]x\in R/\ker f[/mm]
> gibt mit [mm]\varphi(x)=f(r)[/mm]. Das sollte nicht so schwierig
> sein wenn du dir die Definition von [mm]\varphi[/mm] nochmal
> anschaust.
>
Wähle x = r + ker f , [mm] \Rightarrow \varphi(x) [/mm] = [mm] \varphi(r [/mm] + ker f) = f(r).
Kann dies wirklich so einfach gezeigt werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> r- r' [mm]\in[/mm] ker f,
> sei h:= r - r' [mm]\Rightarrow[/mm] r = r' + h , h [mm]\in[/mm] ker f
Richtig.
> [mm]\Rightarrow[/mm] r + ker f = r' ker f.
> Wobei ich bei der letzten implikation nicht genau weiss,
> weshalb dies nun folgt...?
Naja, du weißt doch bestimmt, dass [mm] $[r]\cap[r']\ne\emptyset\gdw [/mm] [r]=[r']$.
> Wähle x = r + ker f , [mm]\Rightarrow \varphi(x)[/mm] = [mm]\varphi(r[/mm] +
> ker f) = f(r). Kann dies wirklich so einfach gezeigt werden?
Ja.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Mo 13.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
ok.
danke für deine Hilfe.
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