Ringhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 28.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K= K(R), i: R [mm] \to [/mm] K der kanon. Ringhomomorphismus und f: R [mm] \to [/mm] L ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper L. Z.z: Es gibt dann genau einen Ringhomomorphismus g: K [mm] \to [/mm] L, so dass f = g [mm] \circ [/mm] i gilt. |
Hallo,
ich hab eine Frage zur obigen Aufgabe, muss man hier den Homomorphiesatz anwenden, um zu zeigen, dass es genau einen Ringhom. g: K [mm] \to [/mm] L gibt? Ich kenn den Homomorphiesatz nur für Gruppen, kann man ihn auch für Ringe anwenden? Oder muss man hier die Existenz und Eindeutigkeit beweisen?
Auch die Voraussetzungen von den anderen Abb. sind anders als beim Gruppenhomomorphiesatz. In der Vorlesung haben wir gelernt, dass die Abb. i: R [mm] \to [/mm] K injektiv ist, und f ist ja auch injektiv.
Mir ist leider nicht ganz klar, wie ich die Aufgabe lösen muss.
Ich hoffe deshalb, dass mir jemand weiter helfen kann.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Mi 29.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K= K(R),
> i: R [mm]\to[/mm] K der kanon. Ringhomomorphismus und f: R [mm]\to[/mm] L ein
> injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper L. Z.z: Es
> gibt dann genau einen Ringhomomorphismus g: K [mm]\to[/mm] L, so
> dass f = g [mm]\circ[/mm] i gilt.
> Hallo,
> ich hab eine Frage zur obigen Aufgabe, muss man hier den
> Homomorphiesatz anwenden, um zu zeigen, dass es genau einen
> Ringhom. g: K [mm]\to[/mm] L gibt? Ich kenn den Homomorphiesatz nur
> für Gruppen, kann man ihn auch für Ringe anwenden?
Nein, du kannst ihn hier nicht benutzen. (Auch wenn er auch fuer Ringe gilt.)
> Oder muss man hier die Existenz und Eindeutigkeit beweisen?
Ja.
> Mir ist leider nicht ganz klar, wie ich die Aufgabe lösen
> muss.
Wie wuerdest du $g : K [mm] \to [/mm] L$ denn definieren? Wie du ihn fuer die Elemente aus $i(R)$ definierst ist ja durch die Bedingung $f = g [mm] \circ [/mm] i$ festgelegt. Was ist mit den anderen Elementen? Sind die auch dadurch schon festgelegt (was die Eindeutigkeit zeigen wuerde)? Oder gibt es mehrere Moeglichkeiten?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:31 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
vielen Dank für deine Hilfe!
> Wie wuerdest du [mm]g : K \to L[/mm] denn definieren? Wie du ihn
> fuer die Elemente aus [mm]i(R)[/mm] definierst ist ja durch die
> Bedingung [mm]f = g \circ i[/mm] festgelegt. Was ist mit den anderen
> Elementen? Sind die auch dadurch schon festgelegt (was die
> Eindeutigkeit zeigen wuerde)? Oder gibt es mehrere
> Moeglichkeiten?
Ich hab leider nicht genau verstanden, was du mir sagen willst 
Die Abb. i: R [mm] \to [/mm] K haben wir in der VL nirgendwo konkret definiert. Ich weiß nur, dass K der Quotientenkörper K(R) ist, d.h. dass (K,+, [mm] \times) [/mm] ein Ring ist und die Abb. i ein Ringhomomorphismus ist.
Ich komm leider nicht drauf, wie ich das g definieren kann, weil mir ist ja nichts gegeben. Selbst das f ist nicht konkret.
Wieso kann man hier den Homomorphiesatz nicht anwenden?
Ich hoffe, du hilfst mir weiter oder gibst mir einen Tipp, wie ich auf diese Abbildungen komme.
Danke dir.
VG, Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Do 30.11.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo felixf,
> vielen Dank für deine Hilfe!
>
>
> > Wie wuerdest du [mm]g : K \to L[/mm] denn definieren? Wie du ihn
> > fuer die Elemente aus [mm]i(R)[/mm] definierst ist ja durch die
> > Bedingung [mm]f = g \circ i[/mm] festgelegt. Was ist mit den anderen
> > Elementen? Sind die auch dadurch schon festgelegt (was die
> > Eindeutigkeit zeigen wuerde)? Oder gibt es mehrere
> > Moeglichkeiten?
>
> Ich hab leider nicht genau verstanden, was du mir sagen
> willst
> Die Abb. i: R [mm]\to[/mm] K haben wir in der VL nirgendwo konkret
> definiert. Ich weiß nur, dass K der Quotientenkörper K(R)
> ist, d.h. dass (K,+, [mm]\times)[/mm] ein Ring ist und die Abb. i
> ein Ringhomomorphismus ist.
Wie habt ihr denn $K$ definiert? Skizzier doch mal kurz die Konstruktion, anhand dieser wird wahrscheinlich auch deutlich wie $i$ definiert ist.
> Ich komm leider nicht drauf, wie ich das g definieren kann,
> weil mir ist ja nichts gegeben. Selbst das f ist nicht
> konkret.
Fuer $x [mm] \in [/mm] i(R)$ gibt es ein (eindeutiges) $y [mm] \in [/mm] R$ mit $i(y) = x$, und somit kannst du $g(x) := f(y)$ definieren. Bzw. musst du sogar, denn das ist die einzige Moeglichkeit, damit $f = g [mm] \circ [/mm] i$ ist.
> Wieso kann man hier den Homomorphiesatz nicht anwenden?
Der Homomorphiesatz sagt dir, dass $i(R) [mm] \subseteq [/mm] K$ und $f(R) [mm] \subseteq [/mm] L$ isomorph sind. Er sagt dir aber nicht, wie man diesen Isomorphismus (eindeutig) zu einer Abbildung $K [mm] \to [/mm] L$ fortsetzen kann. Und gerade das willst du ja zeigen.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:13 Do 30.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
also das K= K(R), dem Quotientenkörper von R.
Das haben wir so definiert:
Sei R ein komm. Integritätsring. Es gibt genau eine Vernknüpfung +: K(R) [mm] \times [/mm] K(R) [mm] \to [/mm] K(R), für die 2 Eig. gelten:
1) (K(R), +, [mm] \times) [/mm] ist ein Ring
2) i: R [mm] \to [/mm] K(R) ist ein Ringhomorphismus.
> Fuer [mm]x \in i(R)[/mm] gibt es ein (eindeutiges) [mm]y \in R[/mm] mit [mm]i(y) = x[/mm],
Ist das so, weil i injektiv ist?
> und somit kannst du [mm]g(x) := f(y)[/mm] definieren. Bzw. musst du
> sogar, denn das ist die einzige Moeglichkeit, damit [mm]f = g \circ i[/mm]
> ist.
Ist das schon die Lösung zur Existenz von g oder muss ich erstmal konkrete Abb. definieren, wo das gilt? Muss man nicht noch zeigen, dass g ein Ringhom. ist? Aber ich hab nicht verstanden, wie ich das machen soll, wenn ich keine konkrete Abb. habe?
Was hat das mir gebracht, dass f injektiv ist? Das hab ich ja nirgendwo gebraucht.
Ich hab auch schon versucht die Eindeutigkeit zu beweisen, in dem ich einen Konkurrenten zu g, sagen wir g', genommen habe. Aber da mir keine genauen Abb. gegeben sind, weiß ich nicht, wie ich dann am Ende auf g = g' kommen soll.
Ich hoffe, du verstehst, was ich meine und hilfst mir weiter.
Danke nochmal vielmals!
Liebe Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
kann mir bitte jemand meine Fragen in meinem letzten Posting beantworten. Mir ist das mit den Abb.noch so unklar, so dass ich bei der Lösung der Aufgabe nicht weiter komme.
Ich wäre dafür sehr dankbar.
Liebe Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
Schau doch noch mal im Skrpit nach, wir haben die Abb [mm] i:R\to [/mm] K(R) doch ganz klar definiert als [mm] a\mapsto \bruch{a}{1}
[/mm]
nun definiere g( [mm] \bruch{a}{b}) [/mm] = [mm] f(a)*f(b)^{-1}
[/mm]
Dann musst du zeigen dass g ein Ringhomom ist, existiert, eindeutig ist und dass f=g [mm] \circ [/mm] i
Versuchs mal selbst
Lg Binie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 So 03.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Binie,
danke für deine Hilfe. Ich hab versucht die geforderten Eigenschaften von g zu zeigen. Vielleicht kannst du mal gucken, ob ich das so richtig gemacht habe. Danke!!
g ist ein Ringhom.:
Z.z: [mm] g(\bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{c}{d}) [/mm] = [mm] g(\bruch{a}{b}) [/mm] + [mm] g(\bruch{c}{d})
[/mm]
[mm] g(\bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{c}{d}) [/mm] = [mm] g(\bruch{ad+cb}{bd}) [/mm] = f(ad+cb) [mm] f(bd)^{-1} [/mm] = (f(ad) + f(cb)) [mm] f(bd)^{-1} [/mm] = (f(a) f(d) + f(c) f(b)) [mm] f(d)^{-1} f(b)^{-1} [/mm] = f(a) [mm] f(b)^{-1} [/mm] + f(c) [mm] f(d)^{-1} [/mm] = [mm] g(\bruch{a}{b}) [/mm] + [mm] g(\bruch{c}{d})
[/mm]
Ich habe angewendet, dass f ein Ringhom ist, und R kommutativ ist. Stimmt das so?
z.z.: [mm] g(\bruch{a}{b} [/mm] * [mm] \bruch{c}{d}) [/mm] = [mm] g(\bruch{a}{b}) [/mm] * [mm] g(\bruch{c}{d})
[/mm]
[mm] g(\bruch{ac}{bd}) [/mm] = f(ac) [mm] f(bd)^{-1} [/mm] = f(a) f(c) [mm] f(b)^{-1} f(d)^{-1} [/mm] = f(a) f(c) [mm] f(b^{-1}) f(d^{-1}) [/mm] = f(a) [mm] f(b)^{-1} [/mm] f(c) [mm] f(d)^{-1} [/mm] = [mm] g(\bruch{a}{b}) g(\bruch{c}{d} [/mm] )
Ok, so?
Z.z.:g(1) = 1
g(1) = [mm] g(\bruch{1}{1}) [/mm] = f(1) [mm] f(1)^{-1} [/mm] = 1*1= 1
Was meinst du dazu?
Zur Existenz von g hab ich einfach die Wohldefiniertheit von g gezeigt:
Seien [mm] \bruch{a}{b}, \bruch{c}{d} \in [/mm] K mit [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{c}{d}, [/mm] also ad = bc
Z.z: [mm] g(\bruch{a}{b}) [/mm] = [mm] g(\bruch{c}{d})
[/mm]
Es gilt ad= bc
f(ad) = f(bc) da f injektiv
f(a) f(d) = f(b) f(c) da f Ringhom
[mm] f(b)^{-1} [/mm] f(a) = f(c) [mm] f(d)^{-1}
[/mm]
[mm] f(b^{-1} [/mm] a) = f(c) [mm] f(d)^{-1}
[/mm]
f(a [mm] b^{-1}) [/mm] = f(c) [mm] f(d)^{-1} [/mm] da R kommutativ
f(a) [mm] f(b)^{-1} [/mm] = f(c) [mm] f(d)^{-1} [/mm]
[mm] g(\bruch{a}{b}) [/mm] = [mm] g(\bruch{c}{d})
[/mm]
Stimmt das so?
Eindeutigkeit:
Def.: g' : K [mm] \to [/mm] L mit [mm] g'(\bruch{a}{b}) [/mm] = f'(a) [mm] f'(b)^{-1}
[/mm]
Z.z.: g' = g
g' [mm] \circ [/mm] i(y) = g'(i(y)) = [mm] g'(\bruch{y}{1}) [/mm] = f'(y) [mm] f'(1)^{-1} [/mm] = f'(y) * 1
An der Stelle komm ich leider nicht weiter. Wie kann ich denn das weiter zeigen, so dass am Ende g' = g rauskommt?
Und wie zeig ich denn genau dass f= g [mm] \circ [/mm] i ist?
Irgendwie ist mir das noch nicht so klar, wie das gehen soll.
Ich hoffe, du verbesserst mich und hillfst mit weiter.
Danke schon mal.
Liebe Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 So 03.12.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
also alles was du gezeigt hast ist super.
Außerdem gilt: sei a [mm] \in [/mm] R:
g [mm] \circ [/mm] i (a) = g [mm] (\bruch{a}{1}) [/mm] = [mm] f(a)*f(1)^{-1} [/mm] = f(a)
Wegen der Eindeutigkeit hast du einen entscheidenen Fehler drin.
Sei g' ein weiterer Ringhomo mit f = g' [mm] \circ [/mm] i dann gilt:
g' [mm] (\bruch{a}{b}) [/mm] = [mm] g'(\bruch{a}{1}) [/mm] * g' [mm] (\bruch{b}{1})^{-1} [/mm] = [g' [mm] \circ [/mm] i(a)]*[g' [mm] \circ i(b)^{-1}] [/mm] = [mm] f(a)*f(b)^{-1} [/mm] = [mm] g(\bruch{a}{b}) [/mm]
Und schon ist die Aufgabe fertig
Gute Nacht Binie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 So 03.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Binie,
danke für deine Hilfe. Bin froh, dass ich den Rest richtig hatte....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 05.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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