Ringhomomorphismen und Ideale < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 19.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich hab für morgen folgende aufgabe zu bearbeiten und hab nicht im geringsten ne ahnung wie ich die ganze sachen angehen könnte:
also sei
f: R ->S ein Ringhomomorphismus (von kommutativen Ringen mit 1).
Beweisen Sie:
(a) Ist J ein Ideal in (S, +, *) dann ist [mm] f^{-1}(J) [/mm] ein Ideal in (R, +, *)
(b) Ist I ein Ideal in (R,+,*) und ist f surjektiv, dann ist f(I) ein Ideal in (S, +, *).
vielen dank für jede Hilfe ich weiss nicht was ich da genau verwenden soll um das zu zeigen. könnt ihr mir da helfen
vielen dank
ciao
mfg
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 19.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo Marc
> Hallo
> Ich hab für morgen folgende aufgabe zu bearbeiten und hab
> nicht im geringsten ne ahnung wie ich die ganze sachen
> angehen könnte:
das ist wirklich nur stupides nachrechnen der definition von ideal. leg die am bestn mal neben dich hin und mache das punkt für punkt. ich gebe mal ein beispiel:
> also sei
> f: R ->S ein Ringhomomorphismus (von kommutativen Ringen
> mit 1).
> Beweisen Sie:
> (a) Ist J ein Ideal in (S, +, *) dann ist [mm]f^{-1}(J)[/mm] ein
> Ideal in (R, +, *)
hier ist also (unter andem) zu zeigen:
[m] \forall \, r \in R \; \forall x \in f^{-1}(J) : rx \in f^{-1}(J) [/m]
sei also [m] r \in R [/m] beliebig und [m] x \in f^{-1}(J) [/m], dann ghit es nach definition der urbildoperation ein $y [mm] \in [/mm] J$ mit $f(x) = y$. dann gilt: [m] f(r*x) \stackrel{f \textrm{ homomorphismus}}{=} f(r)*f(x) = f(r)*\underbrace{y}_{\in J} \in J [/m] - nach definition des ideales $J$.
ähnlich zeigst du nun, dass [m]f^{-1}(J) [/m] eine additive untergruppe von $R$ ist, indem du die entsprechenden eigenschften von $J$ ausnutzt - das ist wirklich nicht so schwer, probiere das bitte einmal!
schaumal, wie weit du kommst, falls du auf probleme stoßen solltets kannst du dich ja nochmal melden!
grüße
andreas
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