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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Fr 30.11.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es sind R, S kommutative Ringe mit 1. I ein Ideal in R, J ein ideal in S. [mm] \pi: [/mm] R-->S Ringhomomorphismus. Beweise bzw. widerlege:
a) I ist ein Unterring von R
b) Wenn I bereits 1 enthält, dann ist R=I
c) [mm] \pi(I) [/mm] ist Ideal in S. |
zu a) Die Aussage müsste doch falsch sein, denn:
Wenn I Ideal von R ist, ist es kein Unterring, denn: I enthält nicht 1 [mm] \in [/mm] R.
Allerdings fällt mir kein konkretes Gegenbeispiel ein...
zu c) Hier halte ich die Aussage auch für falsch, ich meine, dafür müsste doch der Ringhomomor. surjektiv sein, oder?
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> Es sind R, S kommutative Ringe mit 1. I ein Ideal in R, J
> ein ideal in S. [mm]\pi:[/mm] R-->S Ringhomomorphismus. Beweise bzw.
> widerlege:
> a) I ist ein Unterring von R
> b) Wenn I bereits 1 enthält, dann ist R=I
> c) [mm]\pi(I)[/mm] ist Ideal in S.
> zu a) Die Aussage müsste doch falsch sein, denn:
> Wenn I Ideal von R ist, ist es kein Unterring, denn: I
> enthält nicht 1 [mm]\in[/mm] R.
> Allerdings fällt mir kein konkretes Gegenbeispiel ein...
Hmm, da ist die Frage wie ihr Unterring definiert habt.
Wenn der Unterring bei euch auch eine 1 enthalten muss oder wenn ihr nur Ringe mit 1 betrachtet so hast du Recht. Du kennst doch sicher ein paar Beispiele für Ideale; kennst du auch eins, wo die 1 nicht im Ideal liegt?
Wenn ihr auch Ringe ohne 1 zulasst müsstest du dir das nochmal genau überlegen, ob diese Aussage wirklich falsch ist.
> zu c) Hier halte ich die Aussage auch für falsch, ich
> meine, dafür müsste doch der Ringhomomor. surjektiv sein,
> oder?
Ja, das stimmt.
Dann solltest du noch zeigen, dass es falsch ist.
Am besten nimmst du dir dafür einen expliziten Ringhomomorphismus und ein explizites Ideal und zeigst, dass es für diese Wahl nicht klappt.
Als Tipp: [mm] $\pi [/mm] : [mm] \IZ \to \IQ$ [/mm] wäre ein guter Anfang, um einen Widerspruch zu finden.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 01.12.2012 | | Autor: | rollroll |
zu c) Hmm, kannst du mal erklären, wieso der von dir gelieferte Ringhom. das widerlegt?
zu b) Hier bräuchte ich Hilfe, wie ich die Aussage beweisen kann...
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> zu c) Hmm, kannst du mal erklären, wieso der von dir
> gelieferte Ringhom. das widerlegt?
Ich hab noch keinen Hom. angegeben, ich meinte nur es könnte eine gute Idee sein einen von [mm] $\IZ$ [/mm] nach [mm] $\IQ$ [/mm] zu betrachten.
Da gibt es nicht so viele Möglichkeiten, also überleg dir mal einen.
Dann kannst du benutzen, dass es in [mm] $\IQ$ [/mm] ja nicht ganz so viele Ideale gibt um ein Ideal in [mm] $\IZ$ [/mm] zu finden, dessen Bild kein Ideal in [mm] $\IQ$ [/mm] ist.
> zu b) Hier bräuchte ich Hilfe, wie ich die Aussage
> beweisen kann...
Sei $I$ ein Ideal und $1 [mm] \in [/mm] I$. Zu zeigen ist $I=R$. Es ist klarerweise $I [mm] \subseteq [/mm] R$, bleibt also $R [mm] \subseteq [/mm] I$.
Dafür musst du also zeigen: Ist $a [mm] \in [/mm] R$ beliebig, so ist $a [mm] \in [/mm] I$. Als Tipp: $a = a*1$ und guck dir nochmal an, was für ein Ideal gelten muss.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 So 02.12.2012 | | Autor: | rollroll |
Also zu b)
z.z.: R [mm] \subseteq [/mm] I. Also z.z. Ist a [mm] \in [/mm] R beliebig, so ist a [mm] \in [/mm] I.
Folgendes muss für ein Ideal gelten:
Ideal ist nicht-leere Teilmenge , klar (da 1 [mm] \in [/mm] I), [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] I ist auch a+b in I (klar).
r*a [mm] \in [/mm] I (r [mm] \in [/mm] R) Wähle r=1, so ist [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R auch 1*a=a [mm] \in [/mm] I.
Geht das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Mo 03.12.2012 | | Autor: | rollroll |
Was sagt ihr dazu?
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> Also zu b)
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> z.z.: R [mm]\subseteq[/mm] I. Also z.z. Ist a [mm]\in[/mm] R beliebig, so ist
> a [mm]\in[/mm] I.
> Folgendes muss für ein Ideal gelten:
> Ideal ist nicht-leere Teilmenge , klar (da 1 [mm]\in[/mm] I),
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] I ist auch a+b in I (klar).
> r*a [mm]\in[/mm] I (r [mm]\in[/mm] R) Wähle r=1, so ist [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] R auch
> 1*a=a [mm]\in[/mm] I.
> Geht das so?
Fast.
$ra$ muss in $I$ liegen, falls $r [mm] \in [/mm] I$ und $a [mm] \in [/mm] R$. Wähle also $r=1 [mm] \in [/mm] I$ und $a [mm] \in [/mm] R$ beliebig; dann passt das.
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