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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Folgende Aufgabe beschäftigt mich!
Ich habe zwar schon teilweise eine Lösung jedoch bin ich mir nicht sicher ob diese auch korrekt ist!
Sei R ein Ring A,B,C [mm] \subseteq [/mm] R
AB = [mm] {a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n} | n \in \IN ,a_{i} \in A, b_{i} \in B}
[/mm]
A+B = {a+b | a [mm] \in [/mm] A ,b [mm] \in [/mm] B}
Dann gilt:
(1) A+(B+C)=(A+B)+C
(2) A(BC)=(AB)C
(3) wenn A Ideal von R und B Ideal von R, dann auch A+B Ideal von R bzw AB Ideal von R
(4) wenn A Ideal von R und R ein Einselement hat, dann auch RA=AR=A
(5) B bzgl. + abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] ab = {a*b | b [mm] \in [/mm] B} und Ba = {b*a | b [mm] \in [/mm] B}
(6) wenn 0 [mm] \in [/mm] B und 0 [mm] \in [/mm] C dann A(B+C) = AB+AC und (B+C)A=BA+CA
Beweis:
(1)
A+(B+C) = A + {b+c | b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}
= {a+(b+c) | a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}
= {(a+b)+c | ...}
= ... = (A+B)+C
(2)
??
(3)
wähle r [mm] \in [/mm] R, [mm] \alpha \in [/mm] A, [mm] \beta \in [/mm] B beliebig
[mm] r(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = r [mm] \alpha [/mm] + r [mm] \beta \in [/mm] A+B
[mm] r(\alpha [/mm] * [mm] \beta) \in [/mm] A+B (weil r [mm] \alpha \in [/mm] A)
(4)
wähle r [mm] \in [/mm] R, [mm] \alpha \in [/mm] A, [mm] \beta \in [/mm] B beliebig
r [mm] \alpha \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] RA [mm] \subseteq [/mm] A
[mm] \alpha [/mm] r [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] AR [mm] \subseteq [/mm] A
1 [mm] \alpha \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] RA
[mm] \alpha [/mm] 1 [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] AR
[mm] \Rightarrow [/mm] RA=AR=A
(5)
aB = [mm] {ab_{1}+...+ab_{n} | b_{i} \in B}
[/mm]
= [mm] {a*(b_{1}+...+b_{n}) | ...}
[/mm]
[mm] \subseteq [/mm] {a*b | b [mm] \in [/mm] B}
z.z. {a*b | b [mm] \in [/mm] B} [mm] \subseteq [/mm] aB
(6)
??
Könnte das so stimmen oder muss man hier noch mehr zeigen??
mfg
Floyd
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Floyd |
kann man den Punkt (2) (bzw (6)) auch irgendwie direkt zeigen oder muss man hier immer zwei Fälle betrachten??
z.B.: A(BC) [mm] \subseteq [/mm] (AB)C und
A(BC) [mm] \supseteq [/mm] (AB)C
besten Dank im Vorraus
mfg Floyd
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Gruß!
Also (1) sieht Ok aus.
Bei (3) fehlt noch einiges:
Du sollst zeigen, dass $A + B$ ein Ideal ist. Wenn [mm] $\alpha [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] b_1 \in [/mm] A + B$ und [mm] $\beta [/mm] = [mm] a_2 [/mm] + [mm] b_2 \in [/mm] A + B$, sowie $r [mm] \in [/mm] R$ gegeben sind, mußt Du also zeigen:
[mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta \in [/mm] A + B$ und auch $r [mm] \alpha \in [/mm] A + B$
Das zweite geht so, wie Du beschrieben hast - das erste ist auch nicht schwer, fehlt aber bislang.
Und was ist mit $AB$? Das geht prinzipiell genauso, nur hat man da ja Linearkombinationen zu betrachten...
Bei (4) mußt Du auch wieder bedenken, dass $RA$ die Menge aller Linearkombinationen von Produkten der Form [mm] $r_1 a_1$ [/mm] mit [mm] $r_1 \in [/mm] R, [mm] a_1 \in [/mm] A$ beschreibt... daher ist das doch etwas komplizierter.
Die Richtung, die Dir bei (5) noch fehlt ist allerdings trivial. 
Und generell sehe ich momentan keine Vereinfachung - am besten zeigst Du beide Inklusionen bei (2) und (6).
Gruß
Lars
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