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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Auf dem cartesischen Produkt [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] werden 2 Verknüpfungen [mm] \oplus, \odot [/mm] definiert durch :
[mm] (a_{1},a_{2}) \oplus(b_{1},b_{2}) [/mm] := [mm] (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}) [/mm] und
[mm] (a_{1},a_{2}) \odot(b_{1},b_{2}) [/mm] := [mm] (a_{1}*b_{1},a_{2}*b_{2})
[/mm]
Man zeige :
1) [mm] (\IZ x\IZ,\oplus, \odot) [/mm] ist ein Ring mit Eins
2) R:= {(a,b) [mm] \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] | b=0} ist ein unterring mit Eins
3) Ist der Ring [mm] (\IZ x\IZ,\oplus, \odot) [/mm] zu R isomorph ? |
Ich schreib mal meine Überlegungen hin :
1) Ein Ring ist definiert in diesem Falle durch
- [mm] (\IZ [/mm] x [mm] \IZ,+) [/mm] Gruppe
- [mm] (\IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] ,*) halbgruppe
- Distributivgesetz
Ich würde diese 3 sachen prüfen.
2) Ein Unterring von [mm] (\IZ [/mm] x [mm] \IZ, \oplus,\odot) [/mm] müsste die gleichen 2 verknüpfungen haben, eine Teilmenge von [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] sein und ebenfalls ein Ring sein.
Aber wie kann die Menge R ein Unterring sein ?
Ist damit [mm] (R,\oplus,\odot) [/mm] gemeint und R wurde näher definiert ?
Dann müsste ich nur überprüfen ob [mm] (R,\oplus,\odot) [/mm] ein RIng ist da die anderen voraussetzungen schon erfüllt sind (Teilmenge und Verknüpfungen), oder ?
3) f: [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] ----> R
Vorausssetzujng für einen Isomorphismus :
- f(a+b) = f(a) [mm] \oplus [/mm] f(b)
- f(a*b) = f(a) [mm] \odot [/mm] f(b)
- f ist bijektiv
Könnte mir da einer helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Fr 13.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> 1) Ein Ring ist definiert in diesem Falle durch
> - [mm](\IZ[/mm] x [mm]\IZ,+)[/mm] Gruppe
> - [mm](\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] ,*) halbgruppe
> - Distributivgesetz
> Ich würde diese 3 sachen prüfen.
Richtig.
> 2) Ein Unterring von [mm](\IZ[/mm] x [mm]\IZ, \oplus,\odot)[/mm] müsste die
> gleichen 2 verknüpfungen haben, eine Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] x
> [mm]\IZ[/mm] sein und ebenfalls ein Ring sein.
> Aber wie kann die Menge R ein Unterring sein ?
> Ist damit [mm](R,\oplus,\odot)[/mm] gemeint und R wurde näher
> definiert ?
> Dann müsste ich nur überprüfen ob [mm](R,\oplus,\odot)[/mm] ein
> RIng ist da die anderen voraussetzungen schon erfüllt sind
> (Teilmenge und Verknüpfungen), oder ?
Einfach prüfen, ob [mm] $a\oplus [/mm] b$ und [mm] $a\otimes [/mm] b$ wieder in R sind, wenn a und b es waren.
> 3) f: [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] ----> R
> Vorausssetzujng für einen Isomorphismus :
> - f(a+b) = f(a) [mm]\oplus[/mm] f(b)
> - f(a*b) = f(a) [mm]\odot[/mm] f(b)
> - f ist bijektiv
Zum Beispiel so: R ist isomorph zu [mm] $(\IZ,+,\cdot)$ [/mm] (warum)? und somit nullteilerfrei. Aber [mm] $(\IZ\times\IZ,\oplus,\otimes)$ [/mm] ist nicht nullteilerfrei (warum?). Also können R und [mm] $(\IZ\times\IZ,\oplus,\otimes)$ [/mm] nicht isomorph sein, denn Nullteilerfreiheit ist "invariant unter Ringisomorphismen" (warum?).
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:29 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Ayame |
>>Einfach prüfen, ob a [mm] \oplus [/mm] b und a [mm] \odot [/mm] b wieder in R sind,
>>wenn a und b es waren.
Ich wollte frgen wie genau ich dass schreiben muss ?
[mm] (a_{1},0) \oplus (a_{2},0) [/mm] = [mm] (a_{1}+a_{2},0)
[/mm]
[mm] (a_{1},0) \odot (a_{2},0) [/mm] = [mm] (a_{1}*a_{2},0)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 15.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Ayame |
ich merk grad dass ich mich bei der 3) Aufageb vertippt hab :
3) ist der Ring [mm] (\IZ,+,*) [/mm] zu R isomorph?
R war definiert als { [mm] (a,b)\in \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] | b=0 }
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Fr 13.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> ich merk grad dass ich mich bei der 3) Aufageb vertippt hab
> 3) ist der Ring [mm](\IZ,+,*)[/mm] zu R isomorph?
Na das ist doch eigentlich nicht so schwer. Probiers doch mal mit der Abbildung [mm] $$f:R\ni(x,0)\mapsto x\in\IZ.$$ [/mm] Nun zeige, dass das ein Ringisomorphismus ist.
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:26 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Ayame |
also f: R --> [mm] \IZ
[/mm]
(a,0) [mm] \mapsto [/mm] a
i) f(a+o) = f(a) [mm] \oplus [/mm] f(0)
ii) f(a*0) = f(a) [mm] \odot [/mm] f(0)
ii) f ist bijektiv
Das muss ich nun nachweisen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 15.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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