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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Forum,
ich habe mir Überlegungen zu folg. Aufgaben gemacht:
Sei R ein kommutativer Ring mit 1 [mm] \in [/mm] R. Zu a [mm] \in [/mm] R mit a [mm] \not [/mm] = 0 existiere ein multiplikatives Inverses b in R.
Z.z.: b ist eindeutig bestimmt.
Ich hab mir überlegt, dass in einem Ring nicht jedes Element ein Inverses hat, weil z.b. [mm] \IZ [/mm] zwar ein Ring ist, aber es existiert kein multiplikatives Inverses, weil zu 3*x=1 für x keine Lösung angebbar ist. Aber falls es existiert, ist es eindeutig.
Ich habe mir gedacht: Seien a,b [mm] \in [/mm] R, z.z. ist nun dass a=b.
Setze nun b=a', 1 [mm] \in [/mm] R:
Also a= 1*a'= 1*b= b. Stimmt der Beweis? Und umgekehrte Richtung mit a= b'.
Dann sei gegeben [mm] \mu \in S_{4} [/mm] mit [mm] \mu [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \mu(1) & \mu(2) & \mu(3) & \mu(4) }= \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3}, [/mm] wobei [mm] \mu [/mm] eine Transposition ist.
Nun soll ich [mm] \mu [/mm] las Produkt von Transpositionen [mm] \tau [/mm] darstellen und das Vorzeichen von [mm] \mu, [/mm] sowie die Inverse [mm] \mu^{-1} [/mm] bestimmen.
Aber ich weiß nicht so grnau, wie ich bei der Aufgabe b) vorgehen soll, kann mir jmd. Tipps geben? Danke.
moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Di 19.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo moe,
laut Angabe müsste dies heissen, dass zu jedem a [mm] \in [/mm] R mit a [mm] \not= [/mm] 0 ein multiplikatives Inverses (nennen wir es b) existiert.
(Bitte genau die Angabe lesen!)
Dein Beweis stimmt nicht, da du nur zeigst, dass der Ring ein 1-Element hat.
Zu zeigen ist aber a * b = 1
Nehmen wir an, es gäbe noch ein c, dass diese Bedingung auch erfüllt.
Also a * b = 1 (laut Vorraussetzung) und a * c = 1.
Dann gilt a * b = a * c.
... hier darfst du weiter machen
Zur Aufgabe b.
Eine Transposition ist ja eine Vertauschung von Zahlen. Hier muss man entsprechend viele hintereinanderschalten, dass schließlich [mm] \mu [/mm] dabei herauskommt.
Vielleicht hilft es, wenn man [mm] \mu [/mm] zunächst auseinanderzieht:
[mm] \mu [/mm] = (1 2 4 3) = (1 2) (2 4) (4 3)
Falls du nun noch nicht selbst darauf kommst, helfe ich gerne nocheinmal.
Viel Vergnügen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Di 19.04.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> laut Angabe müsste dies heissen, dass zu jedem a [mm]\in[/mm] R mit
> a [mm]\not=[/mm] 0 ein multiplikatives Inverses (nennen wir es b)
> existiert.
> (Bitte genau die Angabe lesen!)
Also ich weiß nicht, ob du mehr Informationen hat, aber die Aufgabe, so wie sie Moe hier gestellt hat lautet nicht, dass jedes Element in R ein Inverses besitzt (, was natürlich auch unsinnig wäre...)
> Dein Beweis stimmt nicht, da du nur zeigst, dass der Ring
> ein 1-Element hat.
> Zu zeigen ist aber a * b = 1
Das sehe ich anders : er hat sich sehr schlecht ausgedrückt : ja
Aber er wollte wohl dies zeigen: sei a' ein weiteres Element mit aa'=1
dann folgt : a'=a'*1=a'*a*b=a*a'*b (wg. Kommutativität)
also a'=b
> Nehmen wir an, es gäbe noch ein c, dass diese Bedingung
> auch erfüllt.
> Also a * b = 1 (laut Vorraussetzung) und a * c = 1.
> Dann gilt a * b = a * c.
> ... hier darfst du weiter machen
wie will man nun weitermachen? doch wohl nicht etwa auf beiden seiten "durch a teilen" (heißt von links mit dem (????) Inversen von a multiplizieren)
oder übersehe ich etwas?
und zum Teil b) wie schon gesagt : Transposition bedeutet, dass man immer nur zwei neben einander stehende Zahlen vertauschen darf
gesucht sind jetzt diejenigen, die aus (1234) die Reihenfolge (2413) macht
[erstes Pärchen vertauschen, dann letztes Pärchen vertauschen, dann mittleres]
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Di 19.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hi,
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> Also ich weiß nicht, ob du mehr Informationen hat, aber die
> Aufgabe, so wie sie Moe hier gestellt hat lautet nicht,
> dass jedes Element in R ein Inverses besitzt (, was
> natürlich auch unsinnig wäre...)
Ich bearbeite gerade das gleiche Aufgabenblatt, wie Moe.
>
> > Dein Beweis stimmt nicht, da du nur zeigst, dass der Ring
> > ein 1-Element hat.
> > Zu zeigen ist aber a * b = 1
>
> Das sehe ich anders : er hat sich sehr schlecht ausgedrückt
> : ja
> Aber er wollte wohl dies zeigen: sei a' ein weiteres
> Element mit aa'=1
> dann folgt : a'=a'*1=a'*a*b=a*a'*b (wg. Kommutativität)
> also a'=b
Hier sehe ich den Beweis, aus dem von Moe habe ich das so nicht erkennt.
> > Nehmen wir an, es gäbe noch ein c, dass diese Bedingung
> > auch erfüllt.
> > Also a * b = 1 (laut Vorraussetzung) und a * c = 1.
> > Dann gilt a * b = a * c.
> > ... hier darfst du weiter machen
>
> wie will man nun weitermachen? doch wohl nicht etwa auf
> beiden seiten "durch a teilen" (heißt von links mit dem
> (????) Inversen von a multiplizieren)
wenn man links und rechts mit b multipliziert, erhält man:
b * a * b = b * a * c -> 1 * b = 1 *c - > b = c
a * b ist ja lt. Vorr. = 1.
Dein Beweis funktioniert aber genau so.
Gruss, Crispy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Di 19.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
noch ein kleiner Hinweis.
Das [mm] \mu [/mm] aus deinem Beispiel ist keine Transposition, sondern eine Permutation.
Gruss, Crispy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 19.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab eine Frage zu b). Und zwar wie stellt man nun [mm] \mu [/mm] als Produkt von Traspositionen t (tau) dar? Das Vorzeichen ist so definiert: [mm] \varepsilon_{\mu} [/mm] := [mm] (-1)^{m}. [/mm] Soll ich da das m bestimmen? Ich weiß, dass [mm] S_{4} [/mm] eine Gruppe von permutationen ist. Was ist denn überhaupt eine Permutation? Ich weiß nicht genau, was das ist. Kann mir jemand das bitte an Hand eines Zahlenbsp. erklären? Und was ist der Unterschied zwischen Permutation und Trasposition?
Da [mm] S_{4} [/mm] eine Gruppe von Permuatationen ist, muss ich auch noch ein Inverses [mm] \mu_{-1} [/mm] finden. Muss dann [mm] \mu \mu_{-1} [/mm] = id gelten? Die Identität ist doch das neutrale element, wenn mich nicht alles täuscht.
Ich hoffe, es kann mir jemand keine Fragen beantworten.
Danke, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo,
Hallo Moe
> ich hab eine Frage zu b). Und zwar wie stellt man nun [mm]\mu[/mm]
> als Produkt von Traspositionen t (tau) dar? Das Vorzeichen
> ist so definiert: [mm]\varepsilon_{\mu}[/mm] := [mm](-1)^{m}.[/mm]
> Soll ich da das m bestimmen?
> Ich weiß, dass [mm]S_{4}[/mm] eine Gruppe von
> permutationen ist. Was ist denn überhaupt eine Permutation?
Die Permutation aus deinem Beispiel, bildet die 1 auf die 2 ab. Und die 2 auf die 4. und die 4 auf die 3,...
also [mm]\mu(1)=2[/mm] [mm]\mu(2)=4[/mm] [mm]\mu(4)=3[/mm] ...
Eine Transposition ist auch eine Permutatition, die "nur" zwei Zahlen vertauscht. [mm]\tau = \pmat{ 5 & 8 } [/mm] bildet die 5 auf die 8, die 8 auf die 5, usw.
Ein Beispiel: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 } \pmat{ 2 & 3 }.
[/mm]
(Man muss Anmerken, dass Transpositionen ähnlich wie beispielsweise Funktionen f(g(x)) von rechts zu lesen sind.)
Also eine 3 wird dann erst zur 2 vertauscht und die 2 dann wieder zur 1.
Klar?
Ein Tipp noch zum Vorzeichen:
Das Vorzeichen von [mm] \mu [/mm] ist 1 falls [mm] \mu [/mm] eine gerade Permutation ist, und [mm] \mu [/mm] = -1 falls [mm] \mu [/mm] eine ungerade Permutation ist.
Eine Permutation ist genau dann gerade, wenn sie aus einer geraden Anzahl von Transpositionen dargestellt werden kann.
> Da [mm]S_{4}[/mm] eine Gruppe von Permuatationen ist, muss ich auch
> noch ein Inverses [mm]\mu_{-1}[/mm] finden. Muss dann [mm]\mu \mu_{-1}[/mm] =
> id gelten? Die Identität ist doch das neutrale element,
> wenn mich nicht alles täuscht.
[mm] \mu [/mm] bildet die 1 -> 2 und 2 -> 4 und 4 -> 3 ab. Eine Umkehrabbildung müsste dann genau das Gegenteil tun.
Wenn ich jetzt eine 2 hab, dann wird die von [mm] \mu [/mm] auf die 4 und von [mm] \mu^{-1} [/mm] dann wieder auf die 2 abgebildet, dann hab ich die Identität.
> Ich hoffe, es kann mir jemand keine Fragen beantworten.
Alles klar?
> Danke, Moe
Gruss, Crispy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke für deine Antwort. Ich hab aber leider immer noch nicht alles verstanden. Ich versteh die Permutation nicht. Wie kommst du drauf, dass die 1 auf die 2 abgebildet wird, die 2 auf die 4 und die 4 auf die 3??? Und wie kommst du auf [mm] \mu(1) [/mm] =2 [mm] \mu(2) [/mm] = 4 [mm] \mu(4) [/mm] = 3.....
Ich hoffe, du kannst es mir nochmal erkären.
Danke, Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Do 21.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo,
Hallo,
> danke für deine Antwort. Ich hab aber leider immer noch
> nicht alles verstanden. Ich versteh die Permutation nicht.
> Wie kommst du drauf, dass die 1 auf die 2 abgebildet wird,
> die 2 auf die 4 und die 4 auf die 3??? Und wie kommst du
> auf [mm]\mu(1)[/mm] =2 [mm]\mu(2)[/mm] = 4 [mm]\mu(4)[/mm] = 3.....
Ganz einfach:
Du hast die Angabe
[mm] \mu [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \mu(1) & \mu(2) & \mu(3) & \mu(4) }= \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3}
[/mm]
Wegen dem "=" steht ja links und rechts das Gleiche. Also.
[mm]\mu(1)[/mm] =2 [mm]\mu(2)[/mm] = 4 [mm]\mu(4)[/mm] = 3
Jetzt alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 21.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab jetzt mal versucht, [mm] \mu [/mm] als Produkt von transpositionen darzustellen. Zunächst hab ich [mm] t_{1} [/mm] = 1, [mm] t_{2} [/mm] = 2, [mm] t_{3} [/mm] = 3 und [mm] t_{4} [/mm] = 4 gesetzt. Durch Transpositionen von den Elementen bin ich dann am ende auf dieses eregbnis gekommen: [mm] \mu [/mm] = [mm] t_{2} \circ t_{4} \circ t_{1} \circ t_{3}
[/mm]
Stimmt das so???
Da die Anzahl der Vertaschungen bei mir m= 3 ist hat [mm] \mu [/mm] ein negatives Vorzeichen [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] (-1)^{3}= [/mm] -1
Bei der Bestimmung des Inversen hab ich ein problem. Ich weiß zwar, dass [mm] \mu \cric \mu^{-1}= [/mm] id, aber ich weiß nicht wie ich [mm] \mu^{-1} [/mm] berechnen kann.
Kannst du mir einen kleinen Tipp geben?
Danke für deine Hilfe.
Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Do 21.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo,
> ich hab jetzt mal versucht, [mm]\mu[/mm] als Produkt von
> transpositionen darzustellen. Zunächst hab ich [mm]t_{1}[/mm] = 1,
> [mm]t_{2}[/mm] = 2, [mm]t_{3}[/mm] = 3 und [mm]t_{4}[/mm] = 4 gesetzt. Durch
> Transpositionen von den Elementen bin ich dann am ende auf
> dieses eregbnis gekommen: [mm]\mu[/mm] = [mm]t_{2} \circ t_{4} \circ t_{1} \circ t_{3}[/mm]
>
> Stimmt das so???
Leider nein. Deine t's bestehen nur aus einem Element. Eine Transposition dagegen - wie schon erwähnt aus zwei.
[mm]\mu = ( 1 2 4 3 ) [/mm] Jetzt gibt es [mm]\tau[/mm]'s oder t's wie [mm]\tau_1 = (1 2)[/mm] [mm]\tau_2 = (2 4)[/mm] [mm]\tau_3 = (4 3)[/mm]
Die Lösung ist (1 2) (2 4) (3 4) - dies stand auch schon in meinem ersten Posting - bitte nun mal mit den Zahlen 1 bis 4 ausprobieren und nachrechnen.
Beispiel: Wenn ich eine 3 hab wird die (von rechts) erst auf mit der 4 vertauscht, dannmit der 2 und ganz zum Schluss mit der 1.
> Da die Anzahl der Vertaschungen bei mir m= 3 ist hat [mm]\mu[/mm]
> ein negatives Vorzeichen [mm]\varepsilon[/mm] = [mm](-1)^{3}=[/mm] -1
korrekt!
> Bei der Bestimmung des Inversen hab ich ein problem. Ich
> weiß zwar, dass [mm]\mu \cric \mu^{-1}=[/mm] id, aber ich weiß nicht
> wie ich [mm]\mu^{-1}[/mm] berechnen kann.
[mm]\mu = ( 1 2 4 3 ) [/mm] bildet die 1 auf die 2 ab, 2 auf 4, ...
[mm]\mu^{-1}[/mm] soll dann das umgekehrte tun also 3 auf 4, 4 auf 2, 2 auf 1.
> Kannst du mir einen kleinen Tipp geben?
Ich hoffe, nun sind alle Unklarheiten beseitigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Do 21.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke für deine Mühe.
ich hab noch ne Frage.
Wie kommst du auf das [mm] \mu(1243)??? [/mm] wie bist du da drauf gekommen?
VG, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Do 21.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo,
> danke für deine Mühe.
> ich hab noch ne Frage.
> Wie kommst du auf das [mm]\mu(1243)???[/mm] wie bist du da drauf
> gekommen?
Hallo, es ist nur eine Schreibweise.
Es ist auch nicht [mm] \mu [/mm] von irgendwas. Sondern [mm] \mu [/mm] = (1243).
Man muss das so von links nach rechts lesen: 1 wird auf die 2 abgebildet ... usw.
Ist nur eine verkürzte Schreibweise, für das was in der Angabe steht.
> VG, Moe
Gruss, Crispy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
ist die Lösung jetzt so richtig: [mm] t_{1}=(12) [/mm] , [mm] t_{2}=(24) [/mm] , t{3}= (43)
dann ist [mm] \mu(1243) [/mm] = [mm] t_{1} \circ t_{2} \circ t_{3}
[/mm]
Stimmt das jetzt endlich?
Und das inverse zu [mm] \mu [/mm] ist dann [mm] \mu^{-1} [/mm] =(3421)??
Danke für deine hIlfe
Gruß, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> hallo,
> ist die Lösung jetzt so richtig: [mm]t_{1}=(12)[/mm] , [mm]t_{2}=(24)[/mm] ,
> [mm]t_{3}= (43)[/mm]
> dann ist [mm]\mu(1243)[/mm] = [mm]t_{1} \circ t_{2} \circ t_{3}[/mm]
>
> Stimmt das jetzt endlich?
Ja.
> Und das inverse zu [mm]\mu[/mm] ist dann [mm]\mu^{-1}[/mm] =(3421)??
Alles korrekt. Bestens!
> Danke für deine hIlfe
> Gruß, Moe
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