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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 05.11.2007 | | Autor: | H8U |
(a) Zeigen oder widerlegen Sie: [mm] (\IZ,\oplus,\otimes) [/mm] mit
[mm] (a_1, a_2) \oplus (b_1, b_2) [/mm] := [mm] (a_1+b_1, a_2+b_2) [/mm] und [mm] (a_1, a_2) \otimes (b_1, b_2) [/mm] := [mm] (a_1*b_1, a_2*b_2) [/mm] für [mm] a_i,b_i \in \IZ [/mm] ist ein kommutativer Ring.
(b) Widerlegen Sie die Aussage: Sei R ein Ring mit additiv neutralem Element [mm] 0_R [/mm] (für alle a,b [mm] \in [/mm] R mit [mm] ab=0_R [/mm] gilt [mm] a=0_R [/mm] oder b=0) [mm] \Rightarrow [/mm] R ist Schiefkörper.
Ich weiß gar nicht, was ich mit diesen "Zielfadenkreuzen" anfangen soll.
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> (a) Zeigen oder widerlegen Sie: [mm](\IZ,\oplus,\otimes)[/mm]
sollte es hier nicht [mm] $(\mathbb{Z}^{\red{2}}, \oplus,\otimes)$ [/mm] heißen? unten treten die elemente doch jeweils als paare auf...
> mit
> [mm](a_1, a_2) \oplus (b_1, b_2)[/mm] := [mm](a_1+b_1, a_2+b_2)[/mm] und
> [mm](a_1, a_2) \otimes (b_1, b_2)[/mm] := [mm](a_1*b_1, a_2*b_2)[/mm] für
> [mm]a_i,b_i \in \IZ[/mm] ist ein kommutativer Ring.
>
> (b) Widerlegen Sie die Aussage: Sei R ein Ring mit additiv
> neutralem Element [mm]0_R[/mm] (für alle a,b [mm]\in[/mm] R mit [mm]ab=0_R[/mm] gilt
> [mm]a=0_R[/mm] oder b=0) [mm]\Rightarrow[/mm] R ist Schiefkörper.
>
> Ich weiß gar nicht, was ich mit diesen "Zielfadenkreuzen"
> anfangen soll.
das ist einfach eine neue verknüpfung auf der menge [mm] $\mathbb{Z}^2$ [/mm] und wird mit diesem zeichen geschrieben (etwa um diese von der gewöhnlichen addition der ganzen zahlen zu unterscheiden). es ist aber im prinzip egal, wie das verknüpfungszeichen aussieht - die axiome die du für einen ring nachprüfen musst sind die selben. etwa für das neutrale element der addition: finde ein [mm] $0_{\mathbb{Z}^2} [/mm] = [mm] (e_1, e_2) \in \mathbb{Z}^2$ [/mm] mit [mm] $(a_1, b_1) \oplus 0_{\mathbb{Z}^2} [/mm] = [mm] (a_1, b_1) [/mm] = [mm] 0_{\mathbb{Z}^2} \oplus (a_1, b_1)$ [/mm] für alle [mm] $(a_1, b_1) \in \mathbb{Z}^2$. [/mm] denke dabei daran, wie das neutrale element der addition von ganzen zahlen aussieht. kann man vielleicht mit hilfe dieses etwas machen? fang doch mal an und zeige, wo du probleme bekommst.
zu (b): welche beispiele für ringe, die keine körper sind, hattet ihr in der vorlesung? da ist in aller regel bei den ersten beispielen gleich einer dabei, der diese bedingung erfüllt.
grüße
andreas
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