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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Im Ring der stetigen Funktionen [mm] $\IR \to \IR,$ [/mm] versehen mit punktweiser
Addition und Multiplikation, sind die Einheiten und die irreduziblen Elemente
zu bestimmen. |
Hallo,
ich habe zu obiger Aufgabe rausbekommen, dass die Einheiten einfach die
nullstellenfreien stetigen Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] sind.
Jetzt denke ich, dass es keine irreduziblen Elemente geben kann. Den Beweis
dazu hätte ich gerne überprüft bekommen (und evtl. kann man mir ja auch
sagen, wenn es einfacher geht):
Angenommen, doch. Sei $f [mm] \in [/mm] R$ und $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] irreduzibel. Dann kann [mm] $f\,$
[/mm]
weder die Nullfunktion noch eine Einheit sein, per Definitionem. Da wir
aber schon gesehen haben, dass die Einheiten die nullstellenfreien
stetigen Funktionen sind, muss $f [mm] \not=0$ [/mm] also eine Nullstelle haben.
Definieren wir nun aber [mm] $h:=\sqrt{|f|}$ [/mm] und [mm] $g:=\text{sign}(f)\cdot h\,,$
[/mm]
so sind [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $h\,$ [/mm] stetig: Die Stetigkeit von [mm] $h\,$ [/mm] ist klar, da Verknüpfung
stetiger Funktionen. Die Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] an jeder Stelle, an der [mm] $f\,$
[/mm]
keine Nullstelle hat, ist auch klar. An den Nullstellen von [mm] $f\,$ [/mm] folgt aber die
Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] sofort unter Beachtung der Beschränktheit der Signum-Funktion
und weil [mm] $f(x_0)=0 \Rightarrow h(x_0)=0\,.$
[/mm]
Also sind $g,h [mm] \in [/mm] R,$ zudem beide auch weder die Nullfunktion noch eine
Einheit. (Letzteres, weil [mm] $f\,$ [/mm] ja mindestens eine Nullstelle hat!)
Aus
[mm] $$f=\text{sign}(f) \cdot [/mm] |f|=g [mm] \cdot [/mm] h$$
folgt dann aber, dass [mm] $f\,$ [/mm] doch reduzibel sein muss.
Soweit alles korrekt? Geht's auch einfacher? Irgendwie denke ich, dass
ich's mir hier zu schwer gemacht habe?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:08 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Im Ring der stetigen Funktionen [mm]\IR \to \IR,[/mm] versehen mit
> punktweiser
> Addition und Multiplikation, sind die Einheiten und die
> irreduziblen Elemente
> zu bestimmen.
>
>
>
> Hallo,
>
> ich habe zu obiger Aufgabe rausbekommen, dass die Einheiten
> einfach die
> nullstellenfreien stetigen Funktionen [mm]\IR \to \IR[/mm] sind.
>
> Jetzt denke ich, dass es keine irreduziblen Elemente geben
> kann. Den Beweis
> dazu hätte ich gerne überprüft bekommen (und evtl. kann
> man mir ja auch
> sagen, wenn es einfacher geht):
> Angenommen, doch. Sei [mm]f \in R[/mm] und [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm]
> irreduzibel. Dann kann [mm]f\,[/mm]
> weder die Nullfunktion noch eine Einheit sein, per
> Definitionem. Da wir
> aber schon gesehen haben, dass die Einheiten die
> nullstellenfreien
> stetigen Funktionen sind, muss [mm]f \not=0[/mm] also eine
> Nullstelle haben.
>
> Definieren wir nun aber [mm]h:=\sqrt{|f|}[/mm] und
> [mm]g:=\text{sign}(f)\cdot h\,,[/mm]
> so sind [mm]g\,[/mm] und [mm]h\,[/mm] stetig:
> Die Stetigkeit von [mm]h\,[/mm] ist klar, da Verknüpfung
> stetiger Funktionen. Die Stetigkeit von [mm]g\,[/mm] an jeder
> Stelle, an der [mm]f\,[/mm]
> keine Nullstelle hat, ist auch klar. An den Nullstellen
> von [mm]f\,[/mm] folgt aber die
> Stetigkeit von [mm]g\,[/mm] sofort unter Beachtung der
> Beschränktheit der Signum-Funktion
> und weil [mm]f(x_0)=0 \Rightarrow h(x_0)=0\,.[/mm]
>
> Also sind [mm]g,h \in R,[/mm] zudem beide auch weder die
> Nullfunktion noch eine
> Einheit. (Letzteres, weil [mm]f\,[/mm] ja mindestens eine Nullstelle
> hat!)
>
> Aus
> [mm]f=\text{sign}(f) \cdot |f|=g \cdot h[/mm]
> folgt dann aber, dass [mm]f\,[/mm] doch reduzibel sein muss.
>
Hallo Marcel,
> Soweit alles korrekt?
Ja
> Geht's auch einfacher?
Möglicherweise. Aber Dein Beweis ist doch kurz und knackig !
> Irgendwie
> denke ich, dass
> ich's mir hier zu schwer gemacht habe?
Wie gesagt: Dein Beweis ist doch kurz und knackig !
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
okay, Danke. Ich dachte schon, dass der Beweis okay ist, aber irgendwie
hatte ich das Gefühl, dass meine Konstruktion der beiden "Faktoren" beim
Beweis, dass es keine irreduziblen Elemente gibt, irgendwie umständlich ist,
und dass man das einfacher machen könnte.
Danke nochmals! 
Gruß,
Marcel
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