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Ring Z/3ZxZ/5Z: Fragestellung unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Sa 28.07.2012
Autor: perl

Aufgabe
i)
Betrachte den Ring Z/3ZxZ/5Z mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Das Element (1,1) ist darin offenbar die Eins. Ist jedes Element q darin ein ganzzahliges Vielfaches der Eins (also der Form n(1,1)=(1,1)+...+(1,1) mit n Summanden)?

Hallo!
Ich verstehe die Fragestellung nicht ganz...

Betrachte ich das element q := (a,b) mit a=0,1,2 und b=0,1,2,3,4
so soll es der Form  n(1,1) sein...??!

nunja, ich dachte mir, sei a=0 und b=1--> q=(0,1) was ja kein ganzzahliges vielfaches von (1,1) ist oder?

in der Musterlösung steht:

1=(1,1)
2=(2,2)
3=(0,3)
4=(1,4)
usw.
-->JA, alle Elemente ganzzahliges vielfaches von Eiins.


Wieso????????
Nehme ich Z/3ZxZ/3Z so ergäbe sich:
1=(1,1)
2=(2,2)
3=(3,3)
4=(0,0)
usw.
DAS sind für mich ganzzahlige vielfache von eins... wieso ist es genau umgekehrt, wie ich denke?



Danke <3

        
Bezug
Ring Z/3ZxZ/5Z: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Sa 28.07.2012
Autor: perl

mir ist was gekommen...
ist mit q vill. das einselement selbst gemeint?
Denn in Z/3ZxZ/5Z ist ggT(3,5)=1 also existiert ein inverses element, das auf (1,1) abbildet.

in Z/3ZxZZ/3Z existiert kein inverses element zu (3,3), da ggT(3,3) ungleich 1.


Ist es das was die aufgabe meint? ist das richtig?

Bezug
                
Bezug
Ring Z/3ZxZ/5Z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Sa 28.07.2012
Autor: Leopold_Gast

[mm]6 \cdot (1,1) = (0,1)[/mm]

Bezug
        
Bezug
Ring Z/3ZxZ/5Z: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Sa 28.07.2012
Autor: wieschoo


> i)
>  Betrachte den Ring Z/3ZxZ/5Z mit komponentenweiser
> Addition und Multiplikation. Das Element (1,1) ist darin
> offenbar die Eins. Ist jedes Element q darin ein
> ganzzahliges Vielfaches der Eins (also der Form
> n(1,1)=(1,1)+...+(1,1) mit n Summanden)?
>  Hallo!
>  Ich verstehe die Fragestellung nicht ganz...
>
> Betrachte ich das element q := (a,b) mit a=0,1,2 und
> b=0,1,2,3,4
> so soll es der Form  n(1,1) sein...??!
>  
> nunja, ich dachte mir, sei a=0 und b=1--> q=(0,1) was ja
> kein ganzzahliges vielfaches von (1,1) ist oder?

Es ist doch [mm] $6\cdot (1,1)=(6,6)=(0,1)=q\;$. [/mm] Du rechnest doch mod 3 und mod 5.

>  
> in der Musterlösung steht:
>  
> 1=(1,1)
>  2=(2,2)
>  3=(0,3)

(0,3)=(3,3)=(6,3)=(6,8)=....

>  4=(1,4)
>  usw.
>  -->JA, alle Elemente ganzzahliges vielfaches von Eiins.
>  
>
> Wieso????????

Elemente [mm] $(a,b)\in \IZ/2\IZ \times \IZ/5\IZ$ [/mm] haben stets die Form [mm] $(a+3\IZ,b+5\IZ)$ [/mm] und da 3 und 5 teilerfremd sind gibt es eben diese Faktoren n mit $n(1,1)=(a,b)$.

>  Nehme ich Z/3ZxZ/3Z so ergäbe sich:
>  1=(1,1)
>  2=(2,2)
>  3=(3,3)
>  4=(0,0)
>  usw.
>  DAS sind für mich ganzzahlige vielfache von eins... wieso
> ist es genau umgekehrt, wie ich denke?
>  

Hier funktioniert dein Gegenbeispiel. Es gibt kein [mm] $n\;$ [/mm] mit $n(1,1)=(0,1)$. Es müsste dann
[mm] $n\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod [/mm] 3$ und [mm] $n\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod [/mm] 3$ gelten. Doch dies geht nicht.

Lies dir einmal die Sachen zum chinesischen Restsatz durch. Insbesondere den Teil zur Existenz von Lösungen.

gruß
wieschoo


Edit: Die andere Antwort war zeitgleich.

Bezug
                
Bezug
Ring Z/3ZxZ/5Z: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:38 So 29.07.2012
Autor: perl

super! Danke euch :) manchmal wirds einem vom zyklus drehen schwindlig und man sieht nix mehr ;)

top antworten wie immer!

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