Ring - Nullteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Di 23.10.2007 | | Autor: | Nobody07 |
| Aufgabe | Sei R = C[a, b] der Ring der auf [a, b] stetigen reellwertigen Funktionen. Beweisen Sie:
Eine Funktion f ist genau dann Nullteiler von R, wenn
[mm] N_{f} [/mm] = {x | x [mm] \in [/mm] [a, b], f(x) = 0}
ein offenes Intervall enthält. |
Hallo!
Meine Frage ist was das mit dem offenen Intervall soll? Ich mein f wäre doch Nullteiler für alle Elemente aus [mm] N_{f} [/mm] oder?
Da:
wenn [mm] \exists [/mm] h(x) [mm] \in [/mm] C[a,b] \ {0} [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \* [/mm] h(x) = 0
so wenn das so sein soll muss f entweder die Nullfunktion sein oder f(x) =0
Wenn f(x) = 0
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] f(a) = [mm] x_{1} [/mm] < 0 und f(b) = [mm] x_{2} [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (da f stetig und nach dem Zwischenwertsatz) [mm] \exists x_{1}< [/mm] f(c) < [mm] x_{2} [/mm] mit f(c) = 0
und daraus müsste doch folgen das alle x [mm] \in N_{f} [/mm] f zum Nullteiler machen.
oder?
was ist jetzt aber noch mit dem offenen Intervall??
Lg Flo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
ich glaube du hast hier etwas zu ungenau argumentiert. Das Produkt von 2 Funktionen kann doch 0 sein, ohne dass eine davon die Nullfunktion ist.
Ich verstehe nicht, was du mit f(x)=0 meinst. Für welche x ist f(x)=0? Für alle? Dann ist aber kein Unterschied zu f=0.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Di 23.10.2007 | | Autor: | Nobody07 |
nein ich meinte damit da f =0 also die nullfunktion sein muss oder das der term f (x) = 0 sein muss wenn f nicht die 0 funktion ist!
[mm] \Rightarrow [/mm] ich muss x [mm] \in [/mm] [a,b] sodass f(x) = 0
so das kann ja durch aus sein das es solche x gibt da f eine stetige Funktion ist.
nämlich genau dann wenn [mm] \exists x_{1} [/mm] , x{2} [mm] \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_{1}) [/mm] < 0 und f(x{2}) > 0 oder auch anders herum.
[mm] \Rightarrow [/mm] (aus zwischenwertsatz) [mm] \exists x_{0} [/mm] mit [mm] f(x_{0}) [/mm] = 0 da [mm] f(x_{1}) [/mm] < [mm] f(x_{0}) [/mm] = 0 <f(x{2})
und diese x die ich so finde sind ja die x [mm] \in N_{f}
[/mm]
nur das mit dem offenen intervall von [mm] N_{f} [/mm] versteh ich net.
lg Flo
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Hallo,
gucken wir uns nochmal die Gleichung
f*g=n mit n(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] [a,b] an.
Das bedeutet ja:
Für alle [mm] x\in [/mm] [a,b] gilt f(x)*g(x)=0.
Nehmen wir uns als f mal die duch [mm] f(x):=x-\bruch{a+b}{2} [/mm] definierte Funktion.
Kann die Nullteiler sein? Findet man eine Funktion g, die es tut?
Klar, z.B.
[mm] g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } f(x)=0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } f(x)\not=0 \mbox{ } \end{cases},
[/mm]
denn dann ist ja f(x)*g(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] [a,b].
Nun könnte man sich beruhigt zurücklehnen - und sollte doch ganz schnell einen Schreck bekommen.
Denn die von mir vorgeschlagene Funktion g ist ja überhaupt nicht stetig!
Bekommt man es so hin, daß man für [mm] f(x):=x-\bruch{a+b}{2} [/mm] ein passendes stetiges g bekommt?
Mit diesem Denkanstoß verlasse ich Dich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Nobody07 |
Danke Angela!
wenn ich das jetzt richtig verstanden habe brauche ich eine funktion g(x), die für x = [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] eine beliebige zahl außer 0 annimmt und [mm] \forall x\in [a,\bruch{a+b}{2}[ \cup ]\bruch{a+b}{2},b] [/mm] gleich 0 ist oder?
aber das geht doch nicht wenn g stetig sein soll! ich könnte mir nur ein g mit g(x)=0 erschaffen; für viele x [mm] \in [a,\bruch{a+b}{2}[ \cup ]\bruch{a+b}{2},b] [/mm] aber doch nicht [mm] \forall [/mm] x??
Gruß Flo
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> Danke Angela!
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> wenn ich das jetzt richtig verstanden habe brauche ich eine
> funktion g(x), die für x = [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] eine beliebige
> zahl außer 0 annimmt und [mm]\forall x\in [a,\bruch{a+b}{2}[ \cup ]\bruch{a+b}{2},b][/mm]
> gleich 0 ist oder?
>
> aber das geht doch nicht wenn g stetig sein soll!
Eben!
Du könntest so vorgehen, daß Du zuerst sagst, daß ein Normalteiler f eine Nullstelle haben muß, und dann zeigst Du, daß sie nicht isoliert sein darf.
Gruß v. Angela
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> Sei R = C[a, b] der Ring der auf [a, b] stetigen
> reellwertigen Funktionen. Beweisen Sie:
> Eine Funktion f ist genau dann Nullteiler von R, wenn [mm]N_{f}[/mm] = [mm] \{x | x \in [a, b], f(x) = 0\}
[/mm]
Hallo,
während ich versucht habe Nobody auf die Sprünge zu helfen, ist mir eine Frage gekommen, die ich noch nicht schlüssig beantworten konnte, und die für die Bearbeitung der Aufgabe recht wesentlich ist.
Wann ist eine Funktion [mm] f\not=0 [/mm] ein Nullteiler im Funktionenring (elementweise Addition und Multiplikation)?
In einer Kombination aus Wissen und Intuition - welche sich auch in meiner Antwort an Nobody niederschlägt und durch die Augabenstellung genähert wird - sage ich:
Wenn ich eine Funktion [mm] g\not=0 [/mm] finde, für welche f*g=0 gilt, und f(x) und g(x) nicht gleichzeitig 0 sind.
Nun kommt's. Jetzt lasse ich das Element der Intuition fort, und werfe einen Blick in mein Algebrabuch.
Diesem entnehme ich:
[mm] f\not=0 [/mm] heißt Nullteiler, wenn ich ein g aus dem Ring finde, [mm] g\not=0, [/mm] so daß f*g=0 oder g*f=0.
Nun übersetze ich mir dieses f*g=0.
Es bedeutet f(x)*g(x)=0 für alle x. Und nichts weiter, insbesondere nicht, daß "f(x) und g(x) nicht gleichzeitig 0 sind."
(Bezogen auf die Aufgabe würde man hieraus schließen müssen, daß meine in der Antwort gegebene Funktion f mit [mm] f(x):=x-\bruch{a+b}{2} [/mm] sehr wohl ein Nullteiler ist, denn wenn g im Punkt [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] nicht [mm] \not=0 [/mm] sein muß, fiele mir schon einiges ein - nur würde das das widerlegen, was man in Nobody's Aufgabe beweisen soll.)
Hat jemand mein Problem erkannt?
Kann jemand den Konflikt für mich lösen?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mi 24.10.2007 | | Autor: | SEcki |
> Wann ist eine Funktion [mm]f\not=0[/mm] ein Normalteiler im
> Funktionenring (elementweise Addition und Multiplikation)?
Normalteiler? Wieso Normalteiler? Was soll das hier denn sein? Meinst du Nullteiler?
> Wenn ich eine Funktion [mm]g\not=0[/mm] finde, für welche f*g=0
> gilt, und f(x) und g(x) nicht gleichzeitig 0 sind.
Also Nullteiler, nicht Normalteiler ...
> Nun kommt's. Jetzt lasse ich das Element der Intuition
> fort, und werfe einen Blick in mein Algebrabuch.
In dem wohl beide Begriffe stehen ... 
> [mm]f\not=0[/mm] heißt Nullteiler, wenn ich ein g aus dem Ring
> finde, [mm]g\not=0,[/mm] so daß f*g=0 oder g*f=0.
Hier egal welche Richtung, da kommutativ.
> Nun übersetze ich mir dieses f*g=0.
>
> Es bedeutet f(x)*g(x)=0 für alle x. Und nichts weiter,
> insbesondere nicht, daß "f(x) und g(x) nicht gleichzeitig 0
> sind."
Kann sein, muss aber nicht. Allerdings muss eines von beiden Null sein - die Funktionen sind reellwertig.
> (Bezogen auf die Aufgabe würde man hieraus schließen
> müssen, daß meine in der Antwort gegebene Funktion f mit
> [mm]f(x):=x-\bruch{a+b}{2}[/mm] sehr wohl ein Normalteiler ist, denn
Also was jetzt? Nullteiler?
> wenn g im Punkt [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] nicht [mm]\not=0[/mm] sein muß, fiele
> mir schon einiges ein - nur würde das das widerlegen, was
> man in Nobody's Aufgabe beweisen soll.)
Mir fiele da nichts stetiges ein ...
> Hat jemand mein Problem erkannt?
Du vermischt ganz wild Normalteiler und Nullteiler und ignorierst Stetigkeit.
> Kann jemand den Konflikt für mich lösen?
Sei f ein Nullteiler, das heisst es existiert ein h mit [m]h\ne 0[/m] und [m]h*f=0[/m], dh x mit [m]h(x)\ne 0[/m], dh es existiert eine offene Umgebung von x, in der [m]h\ne 0[/m], dh es exitiert eine offene Umgebung (dieselbe) mit [m]f=0[/m], also insbesondere ein offenes Intervall mit der Eigenschaft. Fertig. (Aufzeichnen!)
Die andere Richtung: man nehme eine Buckelfunktion mit Träger im offenen Intervall.
Alles klar jetzt?
SEcki
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> Du vermischt ganz wild Normalteiler und Nullteiler und
> ignorierst Stetigkeit.
Hallo,
das war nur äußerlich.
> Alles klar jetzt?
Ja - ich hatte wohl einen komischen Knoten im Gehirn.
Danke!
Gruß v. Angela
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