Ring (?) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es sei M := {f : [mm] \IR \to [/mm] R | f Funktion} die Menge aller Abbildungen von R nach R. Für f + g [mm] \in [/mm] M definieren wir die Abbildung f +g wie immer durch
f+g: [mm] \IR [/mm] to [mm] \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] f(x) + g(x)
Mit [mm] \circ [/mm] bezeichnen wir wie immer die Komposition von Abbildungen. Prüfen Sie, ob [mm] (M;+;\circ) [/mm] ein Ring ist. |
Hallo.
Versteh ich die Aufgabe so richtig (?):
1. Also, zu prüfen ist, ob die Menge M bzgl. + (wie hier definiert) eine kommutative Gruppe ist.
2. Dann, ob M bzgl. [mm] \circ [/mm] ein Monoid ist.
3. Und dann noch das Distributivgesetz. Stimmt das soweit?
Wenn ja, kann mir dann jemand erklären, wie man die 1 prüft. Das habe ich damals schon nicht verstanden xD Wäre echt nett. Danke. Tipps reichen aber völlig aus ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Versteh ich die Aufgabe so richtig (?):
>
> 1. Also, zu prüfen ist, ob die Menge M bzgl. + (wie hier
> definiert) eine kommutative Gruppe ist.
>
> 2. Dann, ob M bzgl. [mm]\circ[/mm] ein Monoid ist.
>
> 3. Und dann noch das Distributivgesetz. Stimmt das soweit?
Ja.
>
> Wenn ja, kann mir dann jemand erklären, wie man die 1
> prüft. Das habe ich damals schon nicht verstanden xD Wäre
> echt nett. Danke. Tipps reichen aber völlig aus ;)
Also, du willst zuerst prüfen, ob (M,+) kommutative Gruppe ist:
Zunächst ist die Abbildung + auf M wohldefiniert, da die Summe (so wie die Summe oben definiert ist) zweier Abbildungen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] wieder eine solche Abbildung ist.
1. Assoziativität: Seien $f,g,h [mm] \in [/mm] M$, zu zeigen: $(f+g)+h = [mm] f+(g+h)\:$
[/mm]
Sei also $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig [mm] \Rightarrow [/mm] $((f+g)+h)(x) = (f+g)(x)+h(x) = [mm] \ldots$ [/mm] (versuche hier mal selbst weiter zu kommen.
2. Neutrales Element ist die Nullabbildung, versuche das zu zeigen: Sei $f [mm] \in [/mm] M, x [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $0_M \in [/mm] M$ die Nullabbildung [mm] $\Rightarrow (f+0_M)(x) [/mm] = [mm] f(x)+0_M(x) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
3. Inverses Element: Naja, versuche dir mal selbst zu überlegen, was das Inverse zu $f [mm] \in [/mm] M$ sein könnte, du willst auf jeden Fall, dass die Nullfunktion rauskommt, wenn du [mm] $f\:$ [/mm] und das Inverse addierst.
4. Kommututivität: Wie Assoziativität, nur einfacher.
Kommst du damit weiter? Die anderen Dinge zu zeigen, geht dann im Grunde genau so, nur eben noch mit der zweiten Verknüpfung.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke.
Geht die Assozaitivität denn einfach so?:
((f+g)+h)(x)
= (f(x) + g(x)) + h(x)
= f(x) + g(x) + h(x)
= f(x) + (g(x) + h(x))
= (f +(g+h))(x)
Beim neutralen Element: Reicht das folgende nicht aus?;
[mm] (f+0_{M})(x) [/mm]
= f(x) + [mm] 0_{M}(x)
[/mm]
= f(x)
= [mm] 0_{m} [/mm] + f(x)
= [mm] (0_{M}+f)(x) [/mm]
Hmm..das Inverse kann doch nur -f(x) sein, oder, also so (?):
Sei g(x) := -f(x)
(f+g)(x) = (f-f)(x) = f(x) - f(x) = 0 = [mm] 0_{M} [/mm]
Und dann natürlich noch andersrum, um das linksinverse zu zeigen. Ist das völlig falsch oder so ok? xD
Zur Kommutativität (ist das echt so einfach xD)
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x)
So würde ich das jetzt einfach machen?
Also, wie man sieht, hab ichs einfach mal probiert. Stimmt das denn oder gibts irgendwo Fehler?
Kann mir auch jemand bei der Komposition helfen. Hab das auch mal versucht (lass das "für alle" hier weg)
zz. [mm] \circ [/mm] ist assoziativ
Man kann das ja von zwei Seiten aus machen:
((f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h )(x)
= ((f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h(x)
= ((f(g(x)) [mm] \circ [/mm] h(x)
= f(g((h(x)))
Und wenn nun, ausgehend von (f [mm] \circ [/mm] (g) [mm] \circ [/mm] h ))(x) dasselbe rauskommt, ist die Ass. bewiesen. Ist das so ok? Kann man das auch direkt in einer Rechung machen?
Wie geht das denn hier mit dem neutralem Element? Müsste ja wieder [mm] 0_{M} [/mm] sein. So (?):
(f [mm] \circ 0_{M})(x) [/mm] Hmm..da kommt doch dann f(0) raus? Das wäre aber falsch?
Kann mir da jemand helfen?
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Hallo SolRakt,
> Danke.
>
> Geht die Assozaitivität denn einfach so?:
Sei [mm]x\in\IR[/mm] beliebig
Das schreibe überall dazu ..
Denn Funktionen sind gleich, wenn sie in jedem Funktionswert übereinstimmen.
Stimmen sie also für ein bel. x in ihrem Funktionswert überein, so auch für alle x ...
>
> ((f+g)+h)(x)
> = (f(x) + g(x)) + h(x)
> = f(x) + g(x) + h(x)
> = f(x) + (g(x) + h(x))
> = (f +(g+h))(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, eine kurze Begrüngung wäre gut!
>
> Beim neutralen Element: Reicht das folgende nicht aus?;
>
> [mm](f+0_{M})(x)[/mm]
> = f(x) + [mm]0_{M}(x)[/mm]
> = f(x)
> = [mm]0_M\red{(x)} + f(x)[/mm]
> = [mm](0_{M}+f)(x)[/mm]
Wieder kurz begründen! Und ein bisschen aufpassen, ob du auf Ebene der Funktionen addierst oder auf den Funktionswerten (also in [mm] $\IR$)
[/mm]
Eigentlich sollte man ein anderes "+"-Zeichnen nehmen ...
Mache dir klar, dass $f+g$ was anderes ist als $f(x)+g(x)$
>
> Hmm..das Inverse kann doch nur -f(x) sein, oder, also so
> (?):
>
> Sei g(x) := -f(x)
>
> (f+g)(x) = (f-f)(x) = f(x) - f(x) = 0 = [mm]0_{M}[/mm] [mm]\red{(x)}[/mm]
>
> Und dann natürlich noch andersrum, um das linksinverse zu
> zeigen. Ist das völlig falsch oder so ok? xD
Das ergibt sich mit der Kommutativität automatisch!
>
> Zur Kommutativität (ist das echt so einfach xD)
>
> (f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x)
>
> So würde ich das jetzt einfach machen?
Ja, nur überall kurz begründen, dass man die Addition der Funktionen auf die (punktweise) Addition auf den Funktionswerten, also auf die "normale" Addition in [mm]IR[/mm] zurückführt, wo alle benötigten Rechenregeln bekanntermaßen gelten!
>
> Also, wie man sieht, hab ichs einfach mal probiert. Stimmt
> das denn oder gibts irgendwo Fehler?
Das ist gut so, aber wie gesagt: kurze Begründung dranschreiben, dann ist der Korrektor auch zufrieden und zieht keine Punkte ab 
>
> Kann mir auch jemand bei der Komposition helfen. Hab das
> auch mal versucht (lass das "für alle" hier weg)
>
> zz. [mm]\circ[/mm] ist assoziativ
>
> Man kann das ja von zwei Seiten aus machen:
>
> ((f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\circ[/mm] h )(x)
> = ((f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\circ[/mm] h(x)
Richtig: [mm]=(f\circ g)(h(x))[/mm]
> = ((f(g(x)) [mm]\circ[/mm] h(x)
Hmm
[mm]=f(g(h(x)))[/mm]
> = f(g((h(x)))
>
> Und wenn nun, ausgehend von (f [mm]\circ[/mm] (g) [mm]\circ[/mm] h ))(x)
> dasselbe rauskommt, ist die Ass. bewiesen. Ist das so ok?
> Kann man das auch direkt in einer Rechung machen?
Ja, du kannst das Ergebnis der ersten Rechnung wieder rückwärts aufdröseln, nur mit andere (passender) Klammerung ...
>
> Wie geht das denn hier mit dem neutralem Element? Müsste
> ja wieder [mm]0_{M}[/mm] sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") So (?):
>
> (f [mm]\circ 0_{M})(x)[/mm] Hmm..da kommt doch dann f(0) raus? Das
> wäre aber falsch?
>
> Kann mir da jemand helfen?
Nehmen wir eine Funktion [mm]f[/mm] aus der Menge oben her und geben uns ein bel. [mm]x\in\IR[/mm] vor.
Nennen wir das neutr. Element bzgl. [mm]\circ[/mm] mal [mm]n[/mm]
Dann muss gelten [mm](f\circ n)(x)=f(\red{n(x)})=f(\red{x})[/mm]
Welche Funktion kann [mm]n[/mm] also nur sein ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke vielmals.
> Mache dir klar, dass f+g was anderes ist als f(x)+g(x)
Das ist genau das, was ich erst seit kurzem verstehe. xD Aber danke für deine Tipps. Ich werde das alles auf jeden Fall beachten.
Ähm, müsste n(x) dann nichtdie Identität id sein? Sonst würde mir grad nichts einfallen, was passen könnte. Ähm..wie schreibt man das denn formal auf?
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Hallo nochmal,
> Danke vielmals.
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> > Mache dir klar, dass f+g was anderes ist als f(x)+g(x)
>
> Das ist genau das, was ich erst seit kurzem verstehe. xD
> Aber danke für deine Tipps. Ich werde das alles auf jeden
> Fall beachten.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Ähm, müsste n(x) dann nichtdie Identität id sein?
Aha!
> Sonst
> würde mir grad nichts einfallen, was passen könnte.
> Ähm..wie schreibt man das denn formal auf?
Nun, [mm]\operatorname{id}_{\IR}:\IR\to \IR, x\mapsto x[/mm] ist sicher in der Menge oben enthalten.
Sei weiter f eine bel. Funktion von [mm]\IR\to\IR[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm]\operatorname{id}_{\IR}[/mm] bzgl. [mm]\circ[/mm] neutral ist, dass also [mm]f\circ \operatorname{id}_{\IR}=f[/mm] ist. (und ebenso [mm]\operatorname{id}_{\IR}\circ f=f[/mm])
Das geht wie in allen anderen Beweisen in dieser Aufgabe punktweise:
Sei also [mm]x\in\IR[/mm] bel.
Dann ist [mm](f\circ \operatorname{id}_{\IR})(x)=f(\operatorname{id}_{\IR}(x))=f(x)[/mm]
Da dies für bel. [mm]x\in\IR[/mm] gilt, tut es das auch für alle [mm]x\in\IR[/mm], also [mm]f\circ \operatorname{id}_{\IR}=f[/mm]
Bleibt die andere Richtung [mm]\operatorname{id}_{\IR}\circ f=f[/mm] zu zeigen.
Oder gilt gar Kommutativität bzgl. [mm]\circ[/mm] ? Beweis? Oder gilt's nicht?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal wieder ;)
Also, frag mal zur Sicherheit (und auch für die Klausur xD). Wenn man die Kommutativität gezeigt hätte, bräuchste man dann beim neutralen und inversen Element nur eine "Richtung" zeigen?
Aber die Kommutativität müsste hier im Allgemeinen nicht gelten:
Ich hab einfach mal zwei Geraden gewählt, also
f(x) = 2x + 3
g(x) = 3x +1
Dann wäre (f [mm] \circ [/mm] g)(x) = 6x + 5
und (g [mm] \circ [/mm] x)(x) = 6x +10
Und das ist ja nicht dasselbe. Also ist die Komposition i.A. nicht kommutativ.
Ähm, kannst du mir vllt auch bei der Distributivität helfen.
Es soll gelten:
f(x) [mm] \circ [/mm] (g(x) + h(x)) = (f(x) [mm] \circ [/mm] g(x)) + (f(x) [mm] \circ [/mm] h(x))
Ich blick da irgendwie nicht durch. Stimmt die Behauptung denn überhaupt?
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Hallo nochmal,
> Danke erstmal wieder ;)
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> Also, frag mal zur Sicherheit (und auch für die Klausur
> xD). Wenn man die Kommutativität gezeigt hätte,
> bräuchste man dann beim neutralen und inversen Element nur
> eine "Richtung" zeigen?
Ja, so ist es!
>
> Aber die Kommutativität müsste hier im Allgemeinen nicht
> gelten:
>
> Ich hab einfach mal zwei Geraden gewählt, also
>
> f(x) = 2x + 3
> g(x) = 3x +1
>
> Dann wäre (f [mm]\circ[/mm] g)(x) = 6x + 5
> und (g [mm]\circ[/mm] x)(x) = 6x +10
>
> Und das ist ja nicht dasselbe. Also ist die Komposition
> i.A. nicht kommutativ.
Also musst du die andere Richtung oben noch zeigen.
>
> Ähm, kannst du mir vllt auch bei der Distributivität
> helfen.
>
> Es soll gelten:
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> f(x) [mm]\circ[/mm] (g(x) + h(x)) = (f(x) [mm]\circ[/mm] g(x)) + (f(x) [mm]\circ[/mm] h(x))
>
> Ich blick da irgendwie nicht durch. Stimmt die Behauptung
> denn überhaupt?
Ja, das ist die Frage, mit den Verknüpfungen "+" wie oben und [mm] "$\cdot{}$" [/mm] mit punktweise definierter Multiplikation ist ein Ring.
Bisher sieht es auch mit den Verknüpfungen "+" und [mm] "$\circ$" [/mm] so aus, als ob wir einen Ring hätten, aber wie sieht es nun mit der Distributivität aus?
Das ist hier wohl der Knackpunkt...
Setze mal die Def. von [mm]\circ[/mm] ein und du siehst, dass (wenn Distributivität gilt) gelten muss:
[mm]f(g(x)+h(x))=f(g(x))+f(h(x))[/mm]
Gilt das für bel. Abb. [mm]f,g,h:\IR\to\IR[/mm] ?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..geht das dann wie folgt (?):
Also, ich wähle einfach wieder drei Geraden:
f(x) = 2x+3
g(x) = 3x+1
h(x) x+2
So, ich prüfe jetzt einfach mal nach, ob die Distributivität gilt. Ich kann mir das nämlich nicht vorstellen. Also:
(1) Ertsmal f(g(x) + h(x))
Also: g(x) + h(x) = 3x+1+x+2=4x+3
Dann ist f(g(x) + h(x)) = 8x+9
(2) Nun f(g(x)) + f(h(x))
Da müsste 8x +12 rauskommen.
Folglich gilt die Distr. nicht und somit ist (M,+, [mm] \circ) [/mm] kein Ring. Richtig? Eigentlich hätte ich ja dann alles andere weglassen können und nur Distr. widerlegen müssen? Naja selbst wenn, ist ja ne gute Übung.
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Hallo nochmal,
> Hmm..geht das dann wie folgt (?):
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> Also, ich wähle einfach wieder drei Geraden:
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> f(x) = 2x+3
> g(x) = 3x+1
> h(x) x+2
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> So, ich prüfe jetzt einfach mal nach, ob die
> Distributivität gilt. Ich kann mir das nämlich nicht
> vorstellen.
Ich auch nicht!
> Also:
>
> (1) Ertsmal f(g(x) + h(x))
>
> Also: g(x) + h(x) = 3x+1+x+2=4x+3
>
> Dann ist f(g(x) + h(x)) = 8x+9
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> (2) Nun f(g(x)) + f(h(x))
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> Da müsste 8x +12 rauskommen.
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> Folglich gilt die Distr. nicht und somit ist (M,+, [mm]\circ)[/mm]
> kein Ring. Richtig?
Es ist [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm] eine Eigenschaft einer bestimmten Klasse von Funktionen.
Diese Eigenschaft kennst du bestimmt, denke mal an die LA-Vorlesung ...
Und längst nicht alle Funktionen von [mm]\IR\to\IR[/mm] erfüllen diese Eigenschaft, wie dein Gegenbsp. ja auch zeigt.
> Eigentlich hätte ich ja dann alles
> andere weglassen können und nur Distr. widerlegen müssen?
Jo
> Naja selbst wenn, ist ja ne gute Übung.
Eben, schaden kann's nicht ...
Gruß
schachuzipus
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