Rieszscher Darstellungssatz < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe ein Problem den Beweis des Rieszschen Darstellungssatzes zu verstehen.
Ich gebe jetzt zunächst den mir vorliegenden Beweis an und dann mein Verständnisproblem.
Hinweise: <*, *> bezeichnet das Skalarprodukt und [mm] V^{\*} [/mm] den Dualraum von V.
Es seien V ein euklidischer Vektorraum und dim V < [mm] \infty [/mm] und [mm] x^{\*} \in V^{\*} [/mm] eine Linearform. Dann existiert genau ein v [mm] \in [/mm] V mit
[mm] x^{\*}(x) [/mm] = <x, v>
für alle x [mm] \in [/mm] V.
Beweis:
Seien dim V = n und B = [mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] eine ONB von V. Wir setzen
v := [mm] \summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)x_i
[/mm]
Dann gilt:
<x, v> = [mm] \summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i) [/mm] <x, [mm] x_i> [/mm] = [mm] x^{\*}(\summe_{i=1}^{n} [/mm] <x, [mm] x_i>x_i) [/mm] = [mm] x^{\*}(x)
[/mm]
Erfüllt [mm] v^{'} \in [/mm] V ebenfalls [mm] x^{\*}(x) [/mm] = <x, [mm] v^{'}> [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V, so folgt <x. [mm] v-v^{'}> [/mm] = 0 für alle x [mm] \in [/mm] V, also [mm] v-v^{'} [/mm] = 0. qed
Verständnisproblem:
Die Behauptung des Satzes ist ja, dass es genau ein v [mm] \in [/mm] V gibt für das gilt [mm] x^{\*}(x) [/mm] = <x, v> und dies für alle x [mm] \in [/mm] V. Der Beweis gibt einfach dieses v (welches von [mm] x^{\*} [/mm] und der ONB abhängt) an und zeigt, dass genau diesem v die Gleichung löst. Richtig?
Ich setze also die Definition von v in <x, v> ein und erhalte:
<x, v> = <x, [mm] \summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)x_i>
[/mm]
Im Skalarprodukt kann ich skalare Faktoren vor das Skalarprodukt ziehen:
<x, [mm] \summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)x_i> [/mm] = [mm] \left(\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)\right) [/mm] <x, [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i>
[/mm]
Das stimmt doch soweit oder?
Wie komme ich jetzt von
[mm] \left(\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)\right) [/mm] <x, [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i>
[/mm]
auf
[mm] \summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i) [/mm] <x, [mm] x_i>
[/mm]
?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem den Beweis des Rieszschen
> Darstellungssatzes zu verstehen.
>
> Ich gebe jetzt zunächst den mir vorliegenden Beweis an und
> dann mein Verständnisproblem.
>
> Hinweise: <*, *> bezeichnet das Skalarprodukt und [mm]V^{\*}[/mm]
> den Dualraum von V.
>
> Es seien V ein euklidischer Vektorraum und dim V < [mm]\infty[/mm]
> und [mm]x^{\*} \in V^{\*}[/mm] eine Linearform. Dann existiert genau
> ein v [mm]\in[/mm] V mit
>
> [mm]x^{\*}(x)[/mm] = <x, v>
>
> für alle x [mm]\in[/mm] V.
>
> Beweis:
>
> Seien dim V = n und B = [mm](x_1,[/mm] ..., [mm]x_n)[/mm] eine ONB von V. Wir
> setzen
>
> v := [mm]\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)x_i[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> <x, v> = [mm]\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)[/mm] <x, [mm]x_i>[/mm] =
> [mm]x^{\*}(\summe_{i=1}^{n}[/mm] <x, [mm]x_i>x_i)[/mm] = [mm]x^{\*}(x)[/mm]
>
> Erfüllt [mm]v^{'} \in[/mm] V ebenfalls [mm]x^{\*}(x)[/mm] = <x, [mm]v^{'}>[/mm] für
> alle x [mm]\in[/mm] V, so folgt <x. [mm]v-v^{'}>[/mm] = 0 für alle x [mm]\in[/mm] V,
> also [mm]v-v^{'}[/mm] = 0. qed
>
> Verständnisproblem:
>
> Die Behauptung des Satzes ist ja, dass es genau ein v [mm]\in[/mm] V
> gibt für das gilt [mm]x^{\*}(x)[/mm] = <x, v> und dies für alle x
> [mm]\in[/mm] V. Der Beweis gibt einfach dieses v (welches von [mm]x^{\*}[/mm]
> und der ONB abhängt) an und zeigt, dass genau diesem v die
> Gleichung löst. Richtig?
Ja
>
> Ich setze also die Definition von v in <x, v> ein und
> erhalte:
>
> <x, v> = <x, [mm]\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)x_i>[/mm]
>
> Im Skalarprodukt kann ich skalare Faktoren vor das
> Skalarprodukt ziehen:
>
> <x, [mm]\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)x_i>[/mm] =
> [mm]\left(\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)\right)[/mm] <x,
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i>[/mm]
>
Nein !!
Es ist <x, v> = <x, $ [mm] \summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)x_i> [/mm] $ = [mm] \summe_{i=1}^{n}
[/mm]
FRED
> Das stimmt doch soweit oder?
>
> Wie komme ich jetzt von
>
> [mm]\left(\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)\right)[/mm] <x,
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i>[/mm]
>
> auf
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x^{\*}(x_i)[/mm] <x, [mm]x_i>[/mm]
>
> ?
>
> Vielen Dank.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
|
