Riemannsumme, Teilintervall < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:58 Fr 03.07.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei a < c <b.
So ist f [mm] \in [/mm] R([a,b]) [mm] \gdw [/mm] f [mm] \in [/mm] R([a,c]), [mm] f\in [/mm] R([c,b]) |
Hallo,
Ich konnte meiner Nachhilfeschülerin den Beweis nur mittels Unter/Obersummen erklären, nun wollte sie aber gerne auch einen Beweis mittels Riemannsummen.
Die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] habe ich mittels Cauchykriterium gezeigt:
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig und [mm] \delta [/mm] so gewählt, dass das Cauchykriterium greift.
Seien [mm] \overline{U},\overline{V} [/mm] bel aber feste Zerlegungen von [a,c] mit [mm] \mu(\overline{U}) [/mm] < [mm] \delta, \mu(\overline{V}) [/mm] < [mm] \delta [/mm] und den Zwischenvektoren [mm] \overline{\psi},\overline{\eta}.
[/mm]
Ich setze die Zerlegungen [mm] \overline{U},\overline{V} [/mm] zu Zerlegungen von [a,b] fort.
[mm] U=(\overline{U}, [/mm] c + [mm] \frac{b-c}{n}, c+2\frac{b-c}{n},..,c+n*\frac{b-c}{n}=b)
[/mm]
[mm] V=(\overline{V}, [/mm] c + [mm] \frac{b-c}{n}, c+2\frac{b-c}{n},..,c+n*\frac{b-c}{n}=b)
[/mm]
ebenso mit den Zwischenvektoren so ist:
[mm] |R(f|_{[a,c]},\overline{U},\overline{\psi}) -R(f|_{[a,c]},\overline{V},\overline{\eta})|=|R(f,U,\psi)-R(f,V,\eta)|<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow f|_{[a,c]} \in [/mm] R([a,c])
Analog für [b,c]
Nun aber die andere Richtung:
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig und [mm] \delta [/mm] so gewählt, dass das Cauchykriterium bei [mm] f|_{[a,c]} ,f|_{[c,b]} [/mm] greift.
Seien U,V bel. aber feste Zerlegungen von [a,b] mit [mm] \mu(U),\mu(V) [/mm] < [mm] \delta [/mm] und [mm] \psi, \eta [/mm] die Zwischenvektoren.
Seien U [mm] \cup \{c\},V \cup \{c\} [/mm] weitere Zerlegungen, natürlich ist die Feinheit der beiden Zerlegungen wieder kleiner als [mm] \delta.
[/mm]
Dadurch erhalte ich aus U zwei Zerlegungen [mm] U_1 [/mm] von [a,c] und [mm] U_2 [/mm] von [c,b].
Wie mache ich das nun mit den Zwischenvektor [mm] \psi [/mm] für das Intervall um c herum?
Ich möchte ja schließlich erhalten [mm] R(f,U,\psi)=R(f,U_1,\psi_1)+R(f,U_2,\psi_2).
[/mm]
Erklärung zum Problem:
Wenn [mm] x_0=a<...
Dann ist [mm] U_1=\{a,x_1,..,x_j,c\}, U_2=\{c,x_{j+1},x_{j+2},..,b\}
[/mm]
Wenn nun Fall 1) [mm] \psi^{(j)}< [/mm] c ist nehme ich für den ersten Zwischenvektor für das Intervall [a,c]: [mm] \psi_1=(\psi^{(0)},\psi^{(1)},...,\psi^{(j)})
[/mm]
Aber bei [mm] \psi_2 [/mm] weiß ich nicht wass ich zwischen [mm] [c,x_{l+1}[ [/mm] für einen Zwischenpunkt nehme. Da es hier ja keinen Zwischenpunkt mehr gibt und ich so die Riemannsumme verändern würde.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 05.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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