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Hallo!
Ich möchte die logarithmische Ableitung der Zetafunktion bestimmen (bzw. nachvollziehen).
In meinem Buch steht [mm] \frac{\log{p} \cdot p^{-s}}{1-p^{-s}} [/mm] = [mm] \log{p} \cdot \sum_{k=1}^\infty (p^{-s})^k [/mm] und daraus folgt [mm] -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{p} \log{p} \cdot \sum_{k=1}^\infty (p^{-s})^k. [/mm] Aber warum??? Ich habe über alle Primzahlen aufsummiert, aber warum steht auf der linken Seite der letzten Gleichung Zeta und die Ableitung?
DANKE!
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> Hallo!
> Ich möchte die logarithmische Ableitung der Zetafunktion
> bestimmen (bzw. nachvollziehen).
> In meinem Buch steht [mm]\frac{\log{p} \cdot p^{-s}}{1-p^{-s}}[/mm]
> = [mm]\log{p} \cdot \sum_{k=1}^\infty (p^{-s})^k[/mm] und daraus
> folgt [mm]-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{p} \log{p} \cdot \sum_{k=1}^\infty (p^{-s})^k.[/mm]
> Aber warum??? Ich habe über alle Primzahlen aufsummiert,
> aber warum steht auf der linken Seite der letzten Gleichung
> Zeta und die Ableitung?
> DANKE!
Hallo,
du hast leider den Anfang der Rechnung nicht
wiedergegeben. Der Ausdruck
$\ -\ [mm] \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$
[/mm]
müsste aber einfach als Ableitung des Ausdrucks
$\ -\ [mm] log\,(\zeta(s))$ [/mm]
entstanden sein ! (Kettenregel)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 So 21.11.2010 | | Autor: | hawkingfan |
Soll die Formel für alle komplexen s gelten oder nur die mit Re>1 oder Re>0?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 21.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Soll die Formel für alle komplexen s gelten oder nur die
> mit Re>1 oder Re>0?
da die Formel vom Euler-Produkt herkommt wuerde ich auf [mm] $\Re [/mm] s > 1$ tippen.
LG Felix
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logarithmische Ableitung