Riemannsche Summen Satz < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:54 Mi 12.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Einen schönen guten Abend zusammen! 
Ich hänge gerade bei den Riemannschen Summen und habe Fragen zu einem Beweis über diese.
Ich habe die Definition der Riemannschen Summe sowie der Mascheinweite abgetippt, und eben den Satz und dessen Beweis.
1) Definition Riemannsche Summe:
Sei f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion,
a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b
eine Unterteilung von [a,b] und [mm] \xi_{k} [/mm] ein beliebiger Punkt ("Stützstelle") aus dem Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}]. [/mm] Das Symbol
Z:= [mm] ((x_{k})_{0 \le k \le n}, (\xi_{k})_{1 \le k \le n})
[/mm]
bezeichne die zusammenfassung der Teilpunkte und Stützstellen
Dann heißt
S(Z,f) := [mm] \summe_{k=1}^{n}f(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})
[/mm]
Riemannsche Summe der Funktion f bezüglich Z.
2) Ferner ist die Feinheit / Maschenweite von Z definiert als
[mm] \mu(Z) [/mm] := [mm] max(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n.
3)Satz: Sei f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann existiert zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für jede Wahl Z von Teilpunkten und Stützstellen der Feinheit [mm] \mu(Z) \le \delta [/mm] gilt
[mm] \left| \integral_{a}^{b}{f(x) dx} - S(Z,f) \right| \le \epsilon [/mm]
bzw. [mm] \limes_{\mu(Z) \rightarrow 0} [/mm] S(Z,f) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Beweis:
Sind [mm] \phi, \psi [/mm] Treppenfunktionen mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi, [/mm] so gilt offenbar für alle Zerlegungen Z
S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le S(Z,\psi).
[/mm]
Daraus folgt, dass es genügt, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist. Sei also f bzgl. der Unterteilung
a = [mm] t_{0} [/mm] < [mm] t_{1} [/mm] < ... < [mm] t_{m} [/mm] = b definiert. Da f beschränkt ist, existiert
M:= sup [mm] \{ |f(x)|: x \in [a,b] \} \in \IR_{+}.
[/mm]
Sei Z:= [mm] ((x_{k})_{0 \le k \le n}, (\xi_{k})_{1 \le k \le n}) [/mm] irgend eine Unterteilung mit Stützstellen des Intervalls [a,b] und F [mm] \in \tau[a,b] [/mm] die durch F(a) = f(a) und
F(x) = [mm] F(\xi_{k}) [/mm] für [mm] x_{k-1} [/mm] < x [mm] \le x_{k} [/mm] (1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n)
definierte Treppenfunktion. Dann gilt
S(Z,f) = [mm] \integral_{a}^{b}{F(x) dx},
[/mm]
also [mm] \left| \integral_{a}^{b}{f(x) dx} - S(Z,f) \right| \le \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx}.
[/mm]
Die Funktionen f und F stimmen auf allen Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] überein, für die [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] keinen Teilpunkt [mm] t_{j} [/mm] enthält. Daraus folgt, dass |f(x) - F(x)| auf höchstens 2m Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] der Gesamtlänge 2m [mm] \mu(Z) [/mm] von 0 verschieden sein kann. In jedem Fall gilt aber
|f(x) - F(x)| [mm] \le [/mm] 2M, also ist
[mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx} \le [/mm] 4mM [mm] \mu(Z).
[/mm]
Da dies für [mm] \mu(Z) \rightarrow [/mm] 0 gegen 0 konvergiert, folgt die Behauptung des Satzes
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Um nun zu meinen Fragen zu kommen
a) Wieso genügt es, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist?
b) Gilt für alle Zerlegungen S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le S(Z,\psi), [/mm] da wegen [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] gilt:
[mm] \phi(\xi_{k}) \le f(\xi_{k}) \le \psi(\xi_{k}) [/mm] und deshalb insgesamt
[mm] \summe_{k=1}^{n}\psi(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) \le \summe_{k=1}^{n}f(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) \le \summe_{k=1}^{n}\psi(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] ?
c) Es steht ja geschrieben, dass offenbar für alle Zerlegungen
S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le S(Z,\psi) [/mm] gilt. Aber ist es so, dass im direkten Vergleich immer dieselben Zerlegungen gewählt werden, also z.B.
[mm] S(Z_{1}, \phi) \le S(Z_{1}, [/mm] f) [mm] \le S(Z_{1}, \psi)
[/mm]
[mm] S(Z_{2}, \phi) \le S(Z_{2}, [/mm] f) [mm] \le S(Z_{2}, \psi) [/mm] ... ?
d) Wird mit f bereits eine Treppenfunktion betrachtet? Und ist f beschränkt, da [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] gilt?
e) Wieso stimmen die Funktionen f und F auf allen Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] überein, für die [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] keinen Teilpunkt [mm] t_{j} [/mm] enthält?
Wenn man [mm] t_{0} [/mm] = [mm] x_{0}, t_{1} [/mm] = [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{m} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] wählt, so enthält doch jedes Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] Teilpunkte [mm] t_{j}, [/mm] aber f und F stimmen exakt überein.
Oder ist es so gemeint, dass - damit f und F nicht übereinstimmen - [mm] t_{j} [/mm] im Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] liegen muss aber kein Randpunkt sein darf, also [mm] t_{j} \in ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] ?
f) Wieso kann der Betrag |f(x) - F(x)| höchstens auf 2m Teilintervallen ]x{k-1}, [mm] x_{k}[ [/mm] von 0 verschieden sein?
g) Ist die Gesamtlänge 2m [mm] \mu(Z), [/mm] da ein Intervall [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] die Länge [mm] \mu(Z) [/mm] hat und diese Länge dann mit 2m multipliziert wird?
h) Folgt aus |f(x) - F(x)| [mm] \le [/mm] 2M schlussendlich
[mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx} \le [/mm] 4mM [mm] \mu(Z),
[/mm]
da sich f(x) höchstens für die Intervalllänge 2m [mm] \mu(Z) [/mm] von F(x) unterscheiden kann ( ansonsten gilt ja f(x) = F(x) ) und somit gilt:
|f(x) - F(x)| [mm] \le [/mm] 2M => [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx} \le \integral_{a}^{b}{2M dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{a + 2m \mu(Z)}{2M dx} [/mm] = 2M ( a + 2m [mm] \mu(Z) [/mm] ) - 2Ma = 4mM [mm] \mu(Z), [/mm] wobei ich beim vorletzten Gleichheitszeichen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzt habe?
Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 17.04.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Mi 09.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen!
Es wäre schön, wenn sich jemand die Zeit nehmen könnte und meine mittlerweile auf 2 reduzierten Fragen beantworten könnte.
Es geht um einen Beweis über Riemann'sche Summen
3)Satz: Sei f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann existiert zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für jede Wahl Z von Teilpunkten und Stützstellen der Feinheit [mm] \mu(Z) \le \delta [/mm] gilt
[mm] \left| \integral_{a}^{b}{f(x) dx} - S(Z,f) \right| \le \epsilon [/mm]
bzw. [mm] \limes_{\mu(Z) \rightarrow 0} [/mm] S(Z,f) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Beweis:
Sind [mm] \phi, \psi [/mm] Treppenfunktionen mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi, [/mm] so gilt offenbar für alle Zerlegungen Z
S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le S(Z,\psi).
[/mm]
Daraus folgt, dass es genügt, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist.
Frage 1:
Wieso genügt es, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist? Also wieso folgt dies aus S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le S(Z,\psi) [/mm] ?
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Sei also f bzgl. der Unterteilung
a = [mm] t_{0} [/mm] < [mm] t_{1} [/mm] < ... < [mm] t_{m} [/mm] = b definiert. Da f beschränkt ist, existiert
M:= sup [mm] \{ |f(x)|: x \in [a,b] \} \in \IR_{+}.
[/mm]
Sei Z:= [mm] ((x_{k})_{0 \le k \le n}, (\xi_{k})_{1 \le k \le n}) [/mm] irgend eine Unterteilung mit Stützstellen des Intervalls [a,b] und F [mm] \in \tau[a,b] [/mm] die durch F(a) = f(a) und
F(x) = [mm] f(\xi_{k}) [/mm] für [mm] x_{k-1} [/mm] < x [mm] \le x_{k} [/mm] (1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n)
definierte Treppenfunktion. Dann gilt
S(Z,f) = [mm] \integral_{a}^{b}{F(x) dx},
[/mm]
also [mm] \left| \integral_{a}^{b}{f(x) dx} - S(Z,f) \right| \le \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx}.
[/mm]
Die Funktionen f und F stimmen auf allen Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] überein, für die [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] keinen Teilpunkt [mm] t_{j} [/mm] enthält. Daraus folgt, dass |f(x) - F(x)| auf höchstens 2m Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] der Gesamtlänge 2m [mm] \mu(Z) [/mm] von 0 verschieden sein kann.
Frage 2:
Der gesamte blaue Part ist mir nicht klar. Könnt ihr ihn mir vielleicht verständlich machen?
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Wäre euch wie immer sehr dankbar für Antworten!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Do 10.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 wegen des Sandwich, in dem int f liegt.
zu 2 weil die Länge der "falschen" Intervalle gegen 0 geht.
reicht das?
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 06.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich hänge gerade bei den Riemannschen Summen und habe Fragen zu einem Beweis über diese.
Ich habe die Definition der Riemannschen Summe sowie der Mascheinweite abgetippt, und eben den Satz und dessen Beweis.
1) Definition Riemannsche Summe:
Sei f:[a,b] $ [mm] \rightarrow \IR [/mm] $ eine Funktion,
a = $ [mm] x_{0} [/mm] $ < $ [mm] x_{1} [/mm] $ < ... < $ [mm] x_{n} [/mm] $ = b
eine Unterteilung von [a,b] und $ [mm] \xi_{k} [/mm] $ ein beliebiger Punkt ("Stützstelle") aus dem Intervall $ [mm] [x_{k-1}, x_{k}]. [/mm] $ Das Symbol
Z:= $ [mm] ((x_{k})_{0 \le k \le n}, (\xi_{k})_{1 \le k \le n}) [/mm] $
bezeichne die zusammenfassung der Teilpunkte und Stützstellen
Dann heißt
S(Z,f) := $ [mm] \summe_{k=1}^{n}f(\xi_{k})(x_{k} [/mm] $ - $ [mm] x_{k-1}) [/mm] $
Riemannsche Summe der Funktion f bezüglich Z.
2) Ferner ist die Feinheit / Maschenweite von Z definiert als
$ [mm] \mu(Z) [/mm] $ := $ [mm] max(x_{k} [/mm] $ - $ [mm] x_{k-1}) [/mm] $ für 1 $ [mm] \le [/mm] $ k $ [mm] \le [/mm] $ n.
3)Satz: Sei f:[a,b] $ [mm] \rightarrow \IR [/mm] $ eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann existiert zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 ein $ [mm] \delta [/mm] $ > 0, so dass für jede Wahl Z von Teilpunkten und Stützstellen der Feinheit $ [mm] \mu(Z) \le \delta [/mm] $ gilt
$ [mm] \left| \integral_{a}^{b}{f(x) dx} - S(Z,f) \right| \le \epsilon [/mm] $
bzw. $ [mm] \limes_{\mu(Z) \rightarrow 0} [/mm] $ S(Z,f) = $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $
Beweis:
Sind $ [mm] \phi, \psi [/mm] $ Treppenfunktionen mit $ [mm] \phi \le [/mm] $ f $ [mm] \le \psi, [/mm] $ so gilt offenbar für alle Zerlegungen Z
S(Z, $ [mm] \phi) \le [/mm] $ S(Z, f) $ [mm] \le S(Z,\psi). [/mm] $
Daraus folgt, dass es genügt, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist. Sei also f bzgl. der Unterteilung
a = $ [mm] t_{0} [/mm] $ < $ [mm] t_{1} [/mm] $ < ... < $ [mm] t_{m} [/mm] $ = b definiert. Da f beschränkt ist, existiert
M:= sup $ [mm] \{ |f(x)|: x \in [a,b] \} \in \IR_{+}. [/mm] $
Sei Z:= $ [mm] ((x_{k})_{0 \le k \le n}, (\xi_{k})_{1 \le k \le n}) [/mm] $ irgend eine Unterteilung mit Stützstellen des Intervalls [a,b] und F $ [mm] \in \tau[a,b] [/mm] $ die durch F(a) = f(a) und
F(x) = $ [mm] F(\xi_{k}) [/mm] $ für $ [mm] x_{k-1} [/mm] $ < x $ [mm] \le x_{k} [/mm] $ (1 $ [mm] \le [/mm] $ k $ [mm] \le [/mm] $ n)
definierte Treppenfunktion. Dann gilt
S(Z,f) = $ [mm] \integral_{a}^{b}{F(x) dx}, [/mm] $
also $ [mm] \left| \integral_{a}^{b}{f(x) dx} - S(Z,f) \right| \le \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx}. [/mm] $
Die Funktionen f und F stimmen auf allen Teilintervallen $ [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] $ überein, für die $ [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] $ keinen Teilpunkt $ [mm] t_{j} [/mm] $ enthält. Daraus folgt, dass |f(x) - F(x)| auf höchstens 2m Teilintervallen $ [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] $ der Gesamtlänge 2m $ [mm] \mu(Z) [/mm] $ von 0 verschieden sein kann. In jedem Fall gilt aber
|f(x) - F(x)| $ [mm] \le [/mm] $ 2M, also ist
$ [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx} \le [/mm] $ 4mM $ [mm] \mu(Z). [/mm] $
Da dies für $ [mm] \mu(Z) \rightarrow [/mm] $ 0 gegen 0 konvergiert, folgt die Behauptung des Satzes.
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Nun zu meinen Fragen:
1) Wieso folgt aus S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z,f) [mm] \le [/mm] S(Z, [mm] \psi),
[/mm]
dass es genügt, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist?
2) Wieso stimmen die Funktionen f und F auf allen Teilintervallen $ [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] $ überein, für die $ [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] $ keinen Teilpunkt $ [mm] t_{j} [/mm] $ enthält?
3) Wieso folgt daraus, dass |f(x) - F(x)| auf höchstens 2m Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] der Gesamtlänge [mm] 2m\mu(Z) [/mm] von 0 verschieden sein kann?
Ich wäre wie immer sehr dankbar für eure Antworten!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Do 10.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 siehe oben,
zu 2 zeichne mal 2 Unterteilungen [mm] t_1,....t_m [/mm] und [mm] x_0....x_n [/mm] um die Aussage zu verstehen .
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Fr 11.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo ledum und Danke für deine Tipps!
Habe noch eine Frage:
1) Stimmen die Funktionen f und F dann nicht auf allen Teilintervallen [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] überein?
Die Aussage war ja:
> Die Funktionen f und F stimmen auf allen Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm]
> überein, für die [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] keinen Teilpunkt [mm] t_{j} [/mm] enthält
Also ich sehe mal kein Gegenbeispiel dafür, dass f und F auf [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] übereinstimmen, wenn [mm] t_{j} [/mm] kein Teilpunkt von [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] ist.
Gibt es hierfür ein Gegenbeispiel, sodass f und F nur auf der Restriktion [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] übereinstimmen, wenn [mm] t_{j} [/mm] kein Teilpunkt von [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] ist?
Wäre wie immer sehr dankbar für eure Antworten!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Fr 11.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe die Frage nicht richtig. Fragst du ob f und F auch übereinstimmen können auf einem Intervall , das [mm] t_j [/mm] enthält? dann ist die Antwort ja, aber man weiss das ja nicht allgemein.
Was ist der Grund der Frage?
Ich hab den Eindruck, du verzettelst dich mit relativ unwichtigen formalen Kleinigkeiten, das bringt dein Matheverständnis nicht wirklich vorwärts.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Fr 11.08.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo
Hallo leduart
> ich verstehe die Frage nicht richtig. Fragst du ob f und
> F auch übereinstimmen können auf einem Intervall , das
> [mm]t_j[/mm] enthält? dann ist die Antwort ja, aber man weiss das
> ja nicht allgemein.
Nein das ist mir klar, dass man das nicht allgemein weiß.
> Was ist der Grund der Frage?
Der Grund war, wieso - wenn [mm] t_{j} [/mm] kein Teilpunkt von [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] ist - f und F nur auf dem offenen Intervall [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] sicher übereinstimmen? Stimmen sie dann nicht im Allgemeinen auf dem abgeschlossenen Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] überein? Wenn nein, gibt es ein Gegenbeispiel?
> Ich hab den Eindruck, du verzettelst dich mit relativ
> unwichtigen formalen Kleinigkeiten, das bringt dein
> Matheverständnis nicht wirklich vorwärts.
Ja das ist mir bewusst, aber der ein oder andere Satz lässt mir keine Ruhe 
> Gruß leduart
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Fr 11.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. ja
[mm] t_j [/mm] Teilpkt des Intervalls heisst wohl auch Randpunkt, deshalb, im übrigen ist das egal.
grüß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Sa 12.08.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo
> i.A. ja
> [mm]t_j[/mm] Teilpkt des Intervalls heisst wohl auch Randpunkt,
> deshalb, im übrigen ist das egal.
> grüß leduart
Hallo leduart,
Was meinst du mit "im Allgemeinen ja", also auf was war das bezogen?
Hm ich verstehe halt nicht, wieso der Autor ein offenes Teilintervall gewählt hat.
Gilt [mm] t_{j} \notin [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] (also [mm] t_{j} [/mm] weder ein Punkt [mm] \in ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] noch ein Randpunkt (also [mm] t_{j} [/mm] = [mm] x_{k-1} [/mm] oder [mm] t_{j} [/mm] = [mm] x_{k-1}), [/mm] so gibt es ja im Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] keine Unterbrechungen oder Änderungen, und folglich müssten f und F ja auf dem abgeschlossenen Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] übereinstimmen, oder übersehe ich etwas?
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Sa 12.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn [mm] t_j [/mm] nicht im abgeschlossenen Intervall liegt hast du recht.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 Mo 14.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo ledum,
okay Danke, ich kann den Beweis nun abhaken
Viele Grüße,
X3nion
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