Riemannsche Summen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Di 23.07.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Berechnen Sie für a > 1 das Integral
[mm] \integral_0^a \bruch{1}{x} [/mm] dx mittels Riemannscher Summen. |
Hallo,
ich habe bereits die Lösung zu dieser Aufgabe, habe jedoch Verständnisfragen:
Wir haben die [mm] Zerlegung:={x_k=a^{\bruch{k}{n}}, k=0,....,n}
[/mm]
Gibt es für die Auswahl der Zerlegung einen Trick oder muss man einfach schauen, dass das erste Glied die Untergrenze und das letzte Glied die Obergrenze des Integrals darstellt?
Nun zum Zwischenvektor:
[mm] \varepsilon^{(n)}:=(\varepsilon_0,\varepsilon_1,....,\varepsilon_{(n-1)}
[/mm]
[mm] \varepsilon_{k}:=a^{\bruch{k}{n}}, [/mm] k=0,....n-1
für [mm] \varepsilon_{k} [/mm] hatten wir bis jetzt immer:
[mm] \varepsilon_{k}=x_{k+1} [/mm] aber hier ist es jetzt auf einmal [mm] \varepsilon_{k}=x_k
[/mm]
Wieso? gilt nicht immer [mm] \varepsilon_{k}=x_{k+1}?
[/mm]
Für die Riemannsche Summe gilt nun:
[mm] S(Z_n,\varepsilon^{(n)},\bruch{1}{x})=\summe_{k=0}^{n-1} f(\varepsilon_k) \Delta x_k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n-1} a^{-\bruch{k}{n}}(a^{\bruch{k+1}{n}}-a^{\bruch{k}{n}})
[/mm]
Warum [mm] a^{-\bruch{k}{n}} [/mm] wenn [mm] \varepsilon_{k}=a^{\bruch{k}{n}} [/mm] also warum das -?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Liebe Grüße
Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Di 23.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallö
die Unterteilung ist wirklich ein Trick, wenn man sich die fkt ansieht sollte man um die Summe zu bilden keine äquidistante Unterteilung nehmen, diese erweist sich als praktisch , wie du ja später siehst, mit einiger Erfahrung kann man sowas manchmal raten, insbesondere wenn man das Ergebnis schon kennt. Oft hat sowas vor langer zeit einer rausgefunden und dann wird das weitergegeben.
du kannst die oder oder Untersumme bilden, dann ist dein [mm] x_k=\epsilon_{k+1} [/mm] oder [mm] \epsilon_k
[/mm]
das - kommt von der fkt [mm] f(x)=1/x=x^{-1} f(a^{k/n}=a^{-k/n}
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mi 24.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie für a > 1 das Integral
>
> [mm]\integral_0^a \bruch{1}{x}[/mm] dx mittels Riemannscher Summen.
> Hallo,
>
> ich habe bereits die Lösung zu dieser Aufgabe, habe jedoch
> Verständnisfragen:
>
> Wir haben die [mm]Zerlegung:=\red{\{}x_k=a^{\bruch{k}{n}}, k=0,....,n\red{\}}[/mm]
Leduart sagte es ja schon: Dass diese Zerlegung "praktisch" ist, ist
eigentlich wirklich eine Erfahrungssache.
> Gibt es für die Auswahl der Zerlegung einen Trick oder
> muss man einfach schauen, dass das erste Glied die
> Untergrenze und das letzte Glied die Obergrenze des
> Integrals darstellt?
![[]](/images/popup.gif) siehe Definition
Beachte dabei aber: Im Link wird mit [mm] $x_1=a$ [/mm] angefangen und mit [mm] $x_{N+1}=b$
[/mm]
aufgehört.
Bei Euch ist der Index um 1 nach links verschoben. (Und anstatt [mm] $N\,$ [/mm]
schreibt ihr [mm] $n\,.$)
[/mm]
> Nun zum Zwischenvektor:
>
> [mm]\varepsilon^{(n)}:=(\varepsilon_0,\varepsilon_1,....,\varepsilon_{(n-1)}[/mm]
>
> [mm]\varepsilon_{k}:=a^{\bruch{k}{n}},[/mm] k=0,....n-1
>
> für [mm]\varepsilon_{k}[/mm] hatten wir bis jetzt immer:
>
> [mm]\varepsilon_{k}=x_{k+1}[/mm] aber hier ist es jetzt auf einmal
> [mm]\varepsilon_{k}=x_k[/mm]
Na, siehe wieder Link: Die [mm] $x_k$ [/mm] "sind aufsteigend sortiert" und [mm] $\xi_k \in [x_k,x_{k+1}]$ [/mm] wird
gefordert.
> Wieso? gilt nicht immer [mm]\varepsilon_{k}=x_{k+1}?[/mm]
Nein, nur sind oben halt die [mm] $\xi_k$ [/mm] damit "gut passend definiert". Schau'
Dir doch einfach mal die Definition des Riemann-Integrals an:
http://www.dorn.org/uni/sls/kap07/g04_02.htm#rie_int
Das [mm] $\Delta_N$ [/mm] dort hat einen Namen:
Feinheit (in diesem Link: $\mu(Z)$ - die Feinheit ist also etwas, was von der Zerlegung abhängt!)
Wenn Du in Heuser, Analysis I, guckst, so siehst Du, dass dort von
"Zerlegungsnullfolge(n)" gesprochen wird. Ansatt von "Feinheit" spricht
Heuser vom "Feinheitsmaß".
Wichtig wäre es oben noch, dass Du Dich davon überzeugst, dass die
Zerlegungsfolge wirklich eine Zerlegungsnullfolge ist. Anders gesagt:
Mit wachsendem [mm] $n\,$ [/mm] soll der maximale Abstand zweier
aufeinanderfolgender Stellen von
[mm] $Zerlegung=\underbrace{Zerlegung_{\;\;\;n}}_{\text{die Zerlegung ist abhängig von }n}:=\red{\{}x_k=a^{\bruch{k}{n}}, k=0,....,n\red{\}}$
[/mm]
gegen 0 streben!
> Für die Riemannsche Summe gilt nun:
>
> [mm]S(Z_n,\varepsilon^{(n)},\bruch{1}{x})=\summe_{k=0}^{n-1} f(\varepsilon_k) \Delta x_k=\summe_{k=0}^{n-1} a^{-\bruch{k}{n}}(a^{\bruch{k+1}{n}}-a^{\bruch{k}{n}})[/mm]
>
> Warum [mm]a^{-\bruch{k}{n}}[/mm] wenn
> [mm]\varepsilon_{k}=a^{\bruch{k}{n}}[/mm] also warum das -?
Na: Es ist [mm] $f(x)=1/x=x^{-1}$ [/mm] und [mm] $\xi_k=x_k=a^{k/n}\,.$ [/mm] Was ist dann [mm] $f(\xi_k)$?
[/mm]
Und dann schau' nochmal, was in der Riemann-Summe steht:
[mm] $\summe_{k=0}^{n-1} \red{f(\xi_k)} \Delta x_k$
[/mm]
P.S. Ich habe hier immer
[mm] $\xi_k$ [/mm] (Code: $\xi_k$)
anstatt
[mm] $\varepsilon_k$ [/mm] (Code: $\varepsilon_k$)
geschrieben. (Das ist auch eigentlich - bei diesem Thema - meist so üblich.)
P.S. Die "wirkliche Logik" oben ist eigentlich:
Wenn $\int_0^a \frac{1}{x} dx$ [mm] $\int_{\red{1}}^a \frac{1}{x} [/mm] dx$ existiert, dann gilt insbesondere mit
folgender Zerlegungsnullfolge... und folgendem Zwischenvektor..., dass dieses
mit folgenden Grenzwert der folgenden Riemannschen Summe ... bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] identisch
ist, also: [mm] $\int_1^a \frac{1}{x}dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n ...=\sum_{n=0}^\infty...$
[/mm]
Allerdings: [mm] $\int_0^a \frac{1}{x}dx$ [/mm] existiert gar nicht!
Daher ist die Aufgabe eigentlich sinnlos... oder rechnet ihr so nach, dass
das Integral nicht existiert? Dann macht das so doch wieder Sinn, weil ihr
dann zeigt, dass für eine spezielle Zerlegungsnullfolge aber...!
(Die ... kannst Du ja jeweils mal selber ergänzen!)
Edit: Vergiss das Durchgestrichene: Bei Euch geht's mit Sicherheit um
[mm] $\int_{\red{1}}^a \frac{1}{x}dx\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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