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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Mein altes Problem, die Grenzwertberechnung, die ich immer noch nur naiv lösen will, obwol ich weiß, dass es nicht klappt.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben oder mir helfen kann, wie ich diesen Grenzwert unter zuhilfenahme der Reiman'schen Summen und de, Hauptsatz heraufinde. Und wie genau ist der Hinweis zu verstehen?
vielen Dank schon im Voraus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:13 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Mein altes Problem, die Grenzwertberechnung, die ich immer
> noch nur naiv lösen will, obwol ich weiß, dass es nicht
> klappt.
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben
> oder mir helfen kann, wie ich diesen Grenzwert unter
> zuhilfenahme der Reiman'schen Summen und de, Hauptsatz
> heraufinde. Und wie genau ist der Hinweis zu verstehen?
wenn Du [mm] $f(x)=\frac{1}{a+bx}$ [/mm] betrachtest:
Berechne mal für festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $k [mm] \in \IN_{\le n}:=\{m \in \IN: m \le n\}$ [/mm] (bei mir: $0 [mm] \notin \IN$):
[/mm]
[mm] $(\*)$ $f\left(\frac{k}{n}\right)$
[/mm]
Dann betrachte für $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $S_n:=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$
[/mm]
(Setze rechterhand mal [mm] $f\left(\frac{k}{n}\right)$ [/mm] aus [mm] $(\*)$ [/mm] ein und ziehe das [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] unter das Summenzeichen (das darfst Du ja bei einer endlichen Summe, und für festes $n$ steht da eine endliche Summe)).
und überlege Dir, was das ganze vll. mit [mm] $\int_0^1 [/mm] f(t)dt$ zu tun haben könnte.
(Tipp: Mit [mm] $a_0=0 [/mm] < [mm] a_1=\frac{1}{n} [/mm] < [mm] a_2=\frac{2}{n} [/mm] < ... < [mm] a_{n-1}=\frac{n-1}{n} [/mm] < [mm] a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] hat man eine Zerlegung von $[0,1]$, die mit wachsendem $n$ feiner wird. Also?)
Zu guter letzt überlege Dir, wie Du
[mm] $\int_0^1 [/mm] f(t)dt$ mit dem HDI berechnen kannst. (Von der Logik her sollte man das eigentlich sogar als ersten Schritt tun, denn dann weiß man sofort etwas über die Existenz des Grenzwertes der obigen Riemann-Summen [mm] $S_n$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty.$)
[/mm]
Vll. noch etwas:
Um [mm] $\int \frac{1}{a+bx}dx$ [/mm] zu berechnen, also eine Stammfunktion von obigem $f$ angeben zu können:
Substituiere $y=y(x):=a+bx$, dann ist [mm] $y\,'=y\,'(x)=\frac{dy}{dx}=b \gdw dx=\frac{dy}{b}$ [/mm] (beachte: Wegen $b > 0$ ist insbesondere $b [mm] \not=0$). [/mm] Der Rest (zur Berechnung einer Stammfunktion mit dieser Substitution) ist Dir hoffentlich klar?
P.P.S.:
Wie kam' ich auf diese Idee?
Rückwärtsrechnung:
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{1}{na+kb}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}*\underbrace{\blue{\frac{1}{a+b\red{\frac{k}{n}}}}}_{=\blue{f\left(\red{\frac{k}{n}}\right)}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$
[/mm]
Und dann muss man sich Gedanken über [mm] $\frac{k}{n}$ [/mm] machen, wenn $n$ fest und $k$ die Werte von $1$ bis $n$ durchläuft und was passiert, wenn dann $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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