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Riemannsche Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:41 Mo 22.06.2009
Autor: physicus

Hi zusammen

Ich hab folgendes Problem:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \produkt_{k=1}^{n} (1+(\bruch{k}{n})^2)^\bruch{k}{n^2} [/mm]

Ich hab das ganze als Riemannsche Summe geschrieben, indem ich den Log davon gebildet habe, dann kommt folgendes raus:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \log{((1+(\bruch{k}{n})^2)^\bruch{k}{n^2})} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\bruch{k}{n}\log{(1+(\bruch{k}{n})^2)} [/mm]

das ganze geht also in folgendes Integral über:

[mm] \integral{x \log{(1+x^2)} dx} [/mm]

Mein Problem ist die Grenzen des Integrals zu bestimmen. Es sollte von 0 bis 1 integriert werden. Aber wieso? Wenn ich in der Riemannsche Summe die Grenzen betrachte also k=1 resp. k=n bekomme ich nicht 0 und 1. Danke für die Hilfe!

        
Bezug
Riemannsche Summe: Summe hinschreiben.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Mo 22.06.2009
Autor: moudi

Hallo physicus

Teile doch das Intervall [0,1] in n Teilintervalle und bilde die Funktionswerte f(k/n) fuer k=1 bis k=n fuer die Funktion [mm] $f(x)=x\log(1+x^2)$. [/mm] Was erhaelst du dann?

mfG Moudi

Bezug
                
Bezug
Riemannsche Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Mo 22.06.2009
Autor: physicus


> Hallo physicus
>  
> Teile doch das Intervall [0,1] in n Teilintervalle und
> bilde die Funktionswerte f(k/n) fuer k=1 bis k=n fuer die
> Funktion [mm]f(x)=x\log(1+x^2)[/mm]. Was erhaelst du dann?
>  
> mfG Moudi

hm...

ich glaub ich verstah nicht ganz was du meinst. Für k = 1 hab ich f(1/n), wenn ich das nun in [mm] x\log(1+x^2) [/mm] einsetze kommt da doch nie 0 heraus. Wenn ich k=n habe, also f(1) bekomme ich die grenze [mm] 1\log(2). [/mm] was auch nicht 1 entspricht.

Bezug
                        
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Riemannsche Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mo 22.06.2009
Autor: fred97

$  [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\bruch{k}{n}\log{(1+(\bruch{k}{n})^2)} [/mm] $

ist eine Riemannsumme bezüglich der Zerlegung

               Z = {0, 1/n, 2/n, ...., n/n }

des Intervalls [0,1]

FRED

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