Riemannsche Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mi 23.05.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Sei }Z_n=(0=\alpha_0^{(n)}<...<\alpha_{m_n}^{(n)}=1)\text{ eine Folge von Zerlegungen von [0,1], deren Feinheit}$
[/mm]
[mm] $\Delta Z_n \to [/mm] 0 [mm] \text{ geht und } \xi_j^{(n)}\in[\alpha_j^{(n)},\alpha_{j-1}^{(n)}] \text{ zugehörige Zwischenpunkte.}$
[/mm]
[mm] $\text{Die Treppenfunktionen }f_n:[0,1]\to\R\text{ seien definiert durch:}$
[/mm]
[mm] $f_n(x) [/mm] := [mm] \left\{\begin{array}{ll}f(\xi_j^{(n)}&\text{falls }\alpha_{j-1}^{(n)}\leq x<\alpha_j^{(n)} \\ f(1) & \text{falls } x=1\end{array}\right.$ [/mm] |
Hallo.
Ich bin es schon wieder 
Ich soll zeigen, dass wen f stetig ist, die Folge [mm] (f_n) [/mm] glm. gegen f konv. und wenn f sprungstetig, dann konv. [mm] (f_n) [/mm] i.a. nicht glm. gegen f.
Ich habe dann angefangen:
Wenn f stetig ist, heißt dass ja, dass
[mm] $|x-x_0|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
[/mm]
Wenn [mm] (f_n) [/mm] glm konvergiert, heißt das ja:
[mm] $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
[/mm]
Ich habe nun versucht, das beides irgendwie in Zusammenhang miteinander zu bringen, doch ich krieg das nicht hin.
Wäre für jeden Tipp / jede Hilfe dankbar.
Gruß
Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Fr 25.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\text{Sei }Z_n=(0=\alpha_0^{(n)}<...<\alpha_{m_n}^{(n)}=1)\text{ eine Folge von Zerlegungen von [0,1], deren Feinheit}[/mm]
>
> [mm]\Delta Z_n \to 0 \text{ geht und } \xi_j^{(n)}\in[\alpha_j^{(n)},\alpha_{j-1}^{(n)}] \text{ zugehörige Zwischenpunkte.}[/mm]
>
> [mm]\text{Die Treppenfunktionen }f_n:[0,1]\to\R\text{ seien definiert durch:}[/mm]
>
> [mm]f_n(x) := \left\{\begin{array}{ll}f(\xi_j^{(n)}&\text{falls }\alpha_{j-1}^{(n)}\leq x<\alpha_j^{(n)} \\ f(1) & \text{falls } x=1\end{array}\right.[/mm]
>
> Hallo.
> Ich bin es schon wieder
> Ich soll zeigen, dass wen f stetig ist, die Folge [mm](f_n)[/mm]
> glm. gegen f konv. und wenn f sprungstetig, dann konv.
> [mm](f_n)[/mm] i.a. nicht glm. gegen f.
>
> Ich habe dann angefangen:
>
> Wenn f stetig ist, heißt dass ja, dass
> [mm]|x-x_0|<\delta => |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
>
> Wenn [mm](f_n)[/mm] glm konvergiert, heißt das ja:
> [mm]|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
hier fehlt sehr, es gibt ein N unabhängig von der Stelle x so dass für alle n>N gilt
für dieses N wählt man [mm] Z_N [/mm] geeignet, die Unterteilung [mm] <\delta [/mm] ist.
Gruss leduart
> Ich habe nun versucht, das beides irgendwie in Zusammenhang
> miteinander zu bringen, doch ich krieg das nicht hin.
>
> Wäre für jeden Tipp / jede Hilfe dankbar.
>
> Gruß
> Peter
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