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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:30 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Ich mal wieder...
Zwei Gleichungen, die Riemannflächen definieren sollen:
1) [mm] F(w,z)=w^2-(z-z_1)(z-z_2)=0, z_1<>z_2
[/mm]
2) [mm] F(w,z)=w^2-(z^4-1)=0
[/mm]
Kann das sein, dass 1) aus zwei Blättern besteht, so dass wenn man die Verbindungslinie von [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] passiert jeweils das Blatt wechselt? Es muss ja was mit [mm] \wurzel{(z-z_1)(z-z_2)} [/mm] zu tun haben. Und wenn ich beide Punkte geschlossen umkreise, passiert das im Bild auch, nur wenn man zwischen den Punkten einen umkreist, wird das Bild nicht geschlossen sein. Richtig?
Wie kommt man bei 2) anschaulich dazu, dass es ein Torus sein soll (es ist doch einer, oder?)?
LG
gfm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 03.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Kann das sein, dass 1) aus zwei Blättern besteht, so dass
> wenn man die Verbindungslinie von [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] passiert
> jeweils das Blatt wechselt? Es muss ja was mit
> [mm]\wurzel{(z-z_1)(z-z_2)}[/mm] zu tun haben. Und wenn ich beide
> Punkte geschlossen umkreise, passiert das im Bild auch, nur
> wenn man zwischen den Punkten einen umkreist, wird das Bild
> nicht geschlossen sein. Richtig?
wirklich? Also ich sehe das so: beide Gleichungen haben mit überall surj. Differential, also mit Satz vom regulären Wert sind beides Riemannsche Flächen - ohne Verzweigungspunkte.
SEcki
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:52 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Kann das sein, dass 1) aus zwei Blättern besteht, so dass
> > wenn man die Verbindungslinie von [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] passiert
> > jeweils das Blatt wechselt? Es muss ja was mit
> > [mm]\wurzel{(z-z_1)(z-z_2)}[/mm] zu tun haben. Und wenn ich beide
> > Punkte geschlossen umkreise, passiert das im Bild auch, nur
> > wenn man zwischen den Punkten einen umkreist, wird das Bild
> > nicht geschlossen sein. Richtig?
>
> wirklich? Also ich sehe das so: beide Gleichungen haben mit
> überall surj. Differential, also mit Satz vom regulären
> Wert sind beides Riemannsche Flächen - ohne
> Verzweigungspunkte.
Setz [mm] z=re^{i\phi} [/mm] mit einem r so groß dass beide Punkte umschlossen werden und bezeichne mit [mm] \phi_{1,2} [/mm] die Winkel der Verbindungslinie von [mm] z_{1,2} [/mm] nach z gegen die x-Achse und mit [mm] \rho_{1,2} [/mm] den Abstand von [mm] z_{1,2} [/mm] zu z. Dann ist
[mm] \wurzel{(z-z_1)(z-z_2)}=\wurzel{\rho_1\rho_2}e^{i\frac{\phi_1+\phi_2}{2}}
[/mm]
Bei einen vollen Umlauf ändert sich [mm] \frac{\phi_1+\phi_2}{2} [/mm] um [mm] 2\pi, [/mm] also alles gut. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn aber der Weg ziwschen den Punkten lang läuft und nur einer Umschlossen wird, dann ändert sich ein Winkel um [mm] \frac{\phi_1+\phi_2}{2} [/mm] um [mm] \pi, [/mm] weil ein Winkel eine Änderung um [mm] 2\pi [/mm] durchläuft, der andere aber nicht. Und dann gibt es eine ähnliche Situation wie bei [mm] \wurzel{z}. [/mm] Damit das nicht passiert muss, man einen Schnitt auf der Verbindunglinie legen, oder? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Dass sie Riemannflächen definieren, will ich ja gerne einsehen, möchte ich ja auch so haben. ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Mich interessiert, jetzt deren Gestalt. Und zu 2) habe ich gefunden:
"After one gains some experience cutting and gluing together Riemann surfaces, one can try some more complicated examples as the Riemann surface of the function [mm] f(z)=\wurzel{z^4-1}. [/mm] When one has constructed this surface and convinced oneself that it has the topology of a torus, one is well on one's way to developing an intuitive understanding of Riemann surfaces." (![[]](/images/popup.gif) planetmath.org:Riemann surface)
Will ich haben, das "intuitive understanding of Riemann surfaces" ![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]")
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 06.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 08:50 Fr 05.03.2010 | | Autor: | gfm |
Nur zur Verlängerung der offenheit der anderen Frage...viellicht hat ja noch jemand Lust...
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 05.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 05.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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