Riemann Summe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:30 So 20.01.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo ich habe mal eine Frage. Die AUfgab lautet:
[mm] \integral_{a}^{b}{x^3 dx} [/mm] nach Riemann aufzulösen.
ich habe dazu auch eine Lösung für die Untersumme:
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{a}{n}\*i(\bruch{a}{n})^3
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{a^4}{n^4}\*i^3
[/mm]
[mm] \bruch{a^4}{n^4}\summe_{i=0}^{n-1}i^3
[/mm]
[mm] \bruch{a^4}{n^4}\*\bruch{1}{4}\*n^2(n-1)^2
[/mm]
[mm] \bruch{a^4}{4}\*\bruch{(n-1)^2}{n^2}
[/mm]
und folgende Lösung für die Obersumme:
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{a}{n}\*((i+1)\*(\bruch{a}{n})^3)
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{a^4}{n^4}\*(i+1)^3
[/mm]
[mm] \bruch{a^4}{n^4}\summe_{i=0}^{n-1}(i+1)^3
[/mm]
[mm] \bruch{a^4}{n^4}\*\bruch{1}{4}\*n^2(n+1)^2
[/mm]
[mm] \bruch{a^4}{4}\*\bruch{(n+1)^2}{n^2}
[/mm]
Meine Probleme beziehen sich jetzt eigentlich nur auf Zeile 4 von Ober und Untersumme. Es wäre wirklich net und ist sehr dringend, wenn mir jmd. erklären könnte, was dort genau gemacht wird. Also wie kommen die z.B. auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm] oder was setzen die dort für die Klammern usw. ein? Wäre wirklich net.
Danke schonmal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen mempys
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mempys,
das ergibt sich aus der Formel für die Summe der ersten n Kubikzahlen:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^ni^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
[/mm]
Die kann man - wenn man will - per vollständige Induktion beweisen.
Bei den Untersummen hast du [mm] $\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^3$
[/mm]
Der Summand für i=0 ist [mm] 0^3=0, [/mm] kannste also weglassen und die Summe bei 1 losgehen lassen, also
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^3=\sum\limits_{i=1}^{n-1}i^3$
[/mm]
Nun lassen wir, damit wir die Formel ganz oben benutzen können, die Summe bis n laufen, addieren also [mm] n^3 [/mm] dazu und ziehen das sofort wieder ab, also
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{n-1}i^3=\blue{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}i^3\right)}-n^3$
[/mm]
Das können wir nach der Summenformel ganz oben schreiben als [mm] $\blue{\frac{1}{4}n^2(n+1)^2}-n^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2-\frac{4n^3}{4}$
[/mm]
Nun [mm] $\frac{1}{4}n^2$ [/mm] ausklammern: [mm] $=\frac{1}{4}n^2\cdot{}\left[(n+1)^2-4n\right]=....$
[/mm]
Den Rest du 
Bei den Obersummen ist es einfacher:
Da mache eine Indexverschiebung:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{n-1}(i+1)^3=\sum\limits_{i=1}^ni^3$
[/mm]
Und darauf dann die Summenformel von ganz oben loslassen.
Vllt. als kleine Merkregel für die Indexverschiebung:
Erhöhst du den Laufindex an der Summe, so musst du ihn in der Summe entsprechend erniedrigen und umgekehrt
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 So 20.01.2008 | | Autor: | mempys |
Okay das habe ich dann soweit verstanden. Aber woher wei0 ich denn, dass sich das aus den ersten n Kubikzahlen ergibt? Also wenn es sich darus ergibt ist ja schön und gut. Aber woher soll ich denn wissen, was sich z.B. aus [mm] x,x^2,x^4,x^5,x^6 [/mm] usw. ergibt???
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Hallo nochmal,
das, was du aufgeschrieben hast, ist ne ganz andere Summe und nennt sich (endliche) geometrische Reihe
Oben bei den Ober-/Untersummen hattest du [mm] $\sum\limits_{i=1}^ni^3$
[/mm]
Wenn du das ausschreibst ist das [mm] $1^3+2^3+3^3+4^3+....+(n-2)^3+(n-1)^3+n^3$
[/mm]
Und das ist halt gleich [mm] $\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
[/mm]
Das wird sich irgendein schlauer Mensch mit zuviel Tagesfreizeit ausgedacht haben
Kannste überall nachschlagen.
Deine zuletzt aufgeschriebene Summe [mm] $x+x^2+x^3+x^4+....$ [/mm] lässt sich mit Summenzeichen so schreiben:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^nx^{i}$
[/mm]
Siehst du den Unterschied?
Für die letztere Summe (endliche geometrische Reihe) gibts auch ne Formel:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^nx^{i}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
[/mm]
Und damit für deine Summe: [mm] $\sum\limits_{i=1}^nx^{i}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:02 So 20.01.2008 | | Autor: | mempys |
Gut dann hab ich das jetzt endlich kapiert. Aber warum wird das, wenn ich nach Riemann Summe gucke mal mit [mm] \summe_{i=0}^{n-1} [/mm] und einmal mit [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] beschrieben. Ich mein wo besteht dort jetzt der Unterschied? Eigentlich kann es doch keinen geben oder? Also ich mach da slieber mit [mm] \summe_{i=1}^{n}. [/mm] Erscheint mir ein bischen einfacher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Di 22.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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