Riemann-integrierbar? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 17.04.2005 | | Autor: | libero |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo,
ich habe eine Frage zur Riemann-Integrierbarkeit, bzw. zur Bildung von Unter- und Obersummen. Wie kann ich z.B. bei folgender Funktion
[mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ 1/q, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \end{cases}[/mm]
eine Ober- bzw. Untersumme bilden? Ich weiß, dass z.B. die Untersumme definiert ist als
[mm]U(f)=\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1}) inf\{ f(x) | x_{i-1}\le x \le x_{i} \}[/mm],
ich weiß aber nicht, wie ich das anwende auf eine Funktion, die (wie oben) für zwei Fälle definiert ist (also x rational bzw. irrational).
Gruß,
Michael
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 So 17.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Michael
Ich weiss jetzt gar nicht, ob deine Funktion wirklich richtig definiert ist!
Heisst es wirklich [mm] $\bruch{1}{q}$, [/mm] nicht etwa [mm] $\bruch{1}{x}$
[/mm]
Das spielt aber nicht so eine entscheidende Rolle. Wesentlich ist, dass es in jedem Teilintervall unendlich viele irrationale wie auch unendlich viele rationale Zahlen gibt.
Darum ist das Infimum in jedem Teilintervall null, und die Untersumme somit auch null.
Das Supremum ist aber (geschätzt, es geht mir nur ums Prinzip) [mm] $\bruch{1}{x}$. [/mm] Die Obersumme ist also Grösser als null. Ich nehme mal an, das betrachtete Intervall sei irgendwo im positiven Bereich. Im negativen Bereich ist natürlich die Obersumme gleich null, hingegen die Untersumme negativ.
ich hoffe, diese kleinen Überlegungen helfen dir weiter beim Verständnis! 
Deine Funktion ist also nicht Riemannintegrierbar.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 So 17.04.2005 | | Autor: | libero |
Hallo Paul,
danke für deine schnelle Hilfe. Die Funktion ist richtig definiert, also das ist schon ein [mm]\bruch{1}{q}[/mm]. Ich habe allerdings vergessen zu erwähnen, dass die Funktion als [mm]f:[0,1]\to \IR[/mm] definiert ist, also nur im Intervall [0,1].
Ich hab deine Argumentation verstanden und das erscheint mir auch einleuchtend, allerdings hab ich auch folgende Aussage (vom Professor) gefunden:
"Die Funktion (s.o.) ist Riemann-integrierbar über [0,1], denn sie ist nur in den rationalen Punkten unstetig. Es ist leicht einsehbar, dass [mm]\integral_{0}^{1} {f(x) dx} = 0[/mm] ist."
Ist das so, weil es "mehr" irrationale Zahlen als rationale Zahlen gibt (vgl. "nur in den rationalen Punkten stetig")? Wenn ja, wieso nur auf [0,1] und wie berechne ich das?
Gruß,
Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 So 17.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
Wenn es also tatsächlich 1/q heisst, dann muss aber q wohl eine Konstante sein?
Meine Argumentation hat aber trotzdem ihre Richtigkeit! Die Funktion ist nicht Riemann-integrierbar!
Sie ist aber Lebesgue-integrierbar, mit der Argumentation deines Professors zu begründen!
Prüfe das doch bitte nochmals nach!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 17.04.2005 | | Autor: | libero |
Schau mal hier (http://www.mat.univie.ac.at/~kriegl/Skripten/Math4Ilak2/node18.html) unter Punkt 18.1.5., da steht das auch noch mal explizit.
q ist in diesem Fall keine Konstante, sondern jeweils der Nenner einer rationalen Zahl. Wenn eine Zahl im Intervall [0,1] rational ist, also durch einen Bruch [mm]\bruch{a}{b}[/mm] dargestellt werden kann, bildet die Funktion diese Zahl auf [mm]\bruch{1}{b}[/mm] ab.
- Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Michael
> q ist in diesem Fall keine Konstante, sondern jeweils der
> Nenner einer rationalen Zahl. Wenn eine Zahl im Intervall
> [0,1] rational ist, also durch einen Bruch [mm]\bruch{a}{b}[/mm]
> dargestellt werden kann, bildet die Funktion diese Zahl auf
> [mm]\bruch{1}{b}[/mm] ab.
Na, du bist mir ja ein Spassvogel! Du musst natürlich schon in der ursprünglichen Frage sagen, was denn das $q$ in [mm] $f(x)=\bruch{1}{q}$ [/mm] zu bedeuten hat! Woher sollte man das denn wissen? Wenn q eine Konstante ist, dann stimmt meine Aussage! So aber natürlich nicht mehr! Du kannst das ja auch bildlich einsehen, weil es jetzt in jedem Teilintervall beliebig viele "rationalen Punkte" gibt, deren Funktionswert beliebig klein wird. Nimm zum Beispiel als q die grösste bekannte Primzahl! Und da es ja bekanntlich beliebig grosse Primzahlen gibt...
Also eine Bitte: formuliere beim nächsten Mal die Frage bitte etwas präziser! 
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:02 Mo 18.04.2005 | | Autor: | libero |
Ups, sorry.
Du hast vollkommen recht, hab ich vergessen hinzuschreiben, mein Fehler. Ich glaube, ich habe mittlerweile dank deiner Argumentation verstanden, wie es aussieht:
In jedem Teilintervall liegen beliebig (unendlich?) viele rationale Punkte. Der Funktionswert wird beliebig klein, da die Funktion von jeder dieser Zahlen nur den Nenner im Ausdruck [mm]\bruch{1}{q}[/mm] berücksichtigt. Daher ist also das Infimum in jedem Teilintervall beliebig klein.
War gerade vielleicht etwas umständlich ausgedrückt, aber ich denke, ich habe es jetzt. Jetzt muss ich nur noch herausfinden, warum man diese Funktion auch "Riemannsches Lineal" nennt, aber das ist nicht ganz so wichtig
Vielen Dank für die Hilfe und Geduld, Paulus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Michael
du kennst ja sicher die Einteilung bei Massbändern. Da gibt es pro Meter eine lange Markierung, pro Dezimeter eine etwas weniger lange, pro cm kürzer, evtl pro 5mm wieder etwas kürzer, pro mm kurz, pro 1/10 mm ganz kurz usf.
Kannst du in dieser Struktur nicht so etwas Ähnliches erkennen wie bei deiner vorgegebenen Funktion:
Funktionswert 1 bei 0,1,2,3,4,... (wenn man mal über das Intervall hinausgeht)
Funktionswert 1/2 bei 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, ...
Funktionswert 1/3 bei 1/3, 2/3, 4/3, 5/3, ...
Funktionswert 1/4 bei 1/4, 3/4, 5/4, 7/4, ...
Funktionswert 1/5 bei 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 6/5, ...
Zeichne doch diese Werte mal in einem Koordinatensystem ein, wobei du jeweils die Ordinate als Strecke mit einzeichnest, dann kannst du mit etwas Phantasie den oben beschriebenen Massstab erkennen.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
