Riemann-integrierbar < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $f$ auf $[a,b]$ monoton. Zeigen sie, dass $f$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar ist. |
Hallo Leute
Also ich habe eine Idee wie man das Beweisen kann bin mir aber nicht sicher wie ich das Mathematisch korekt ausdrücken kann.
Ich habe mir gedacht, dass f da Monoton bei a ein minimun hat und bei b ein Maximum oder umgekert. Das wiederum würde heißen, dass [mm] $\delta$ [/mm] maximal so groß ist wie $b-a$.
Ab hier bin ich mir nicht sicher, ob ich noch richtig liege, aber ich denke, dass jetzt zu zeigen wäre (wie man das zeigt ist mir auch noch nicht so richtig klar), dass daraus folg dass für genügent feine Unterteilung die Riemansummen sich nur um [mm] $\epsilon$ [/mm] von I unterscheiden.
Danke für eure hilfe im vorraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 04.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Scout!
Um einen Beweis formal aufzuschreiben genügt nicht nur eine
Idee. Deine Idee mit [mm] $b-a\$ [/mm] ist richtig, aber wir benötigen
formal eine äquidistante Unterteilung des Intervalls [mm] $[a,b]\$.
[/mm]
Das hast du bereits richtig mit "feine" Unterteilung ange-
nommen. Du könntest zur Veranschaulichung zunächst zeigen,
dass jede monotone Funktion [mm] f\colon[0,1]\to\IR [/mm] integrierbar ist und
danach übergehen in den "Allgemeinen" Fall. Vielleicht hilft
dir das. Ich würde anfangen mit:
Sei
[mm] f\colon[a,b]\to\IR
[/mm]
monoton wachsend und sei
[mm] Z_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
die äquidistante Zerlegung von
[mm] $[a,b]\$.
[/mm]
Jetzt betrachten wir die Differenz der Ober- und Untersumme
[mm] O(Z_n)-U(Z_n),
[/mm]
wobei wir natürlich uns noch davor [mm] $O\$ [/mm] und [mm] $U\$ [/mm] überlegen
müssen. Es gilt:
[mm] U(Z_n)=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k).
[/mm]
Jetzt bist du dran. Überlege dir nun [mm] $O\$ [/mm] und betrachte die
Differenz.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 So 04.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du kannst natürlich nicht einfach ein [mm] U_n [/mm] definieren, sondern müsstest mithilfe der Monotonie von f nachweisen, dass es so ist.
Es ist tatsächlich [mm] \ge.
[/mm]
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 So 04.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Sax,
Du hast Recht. Definieren ist das komplett falsche Wort hier.
Ich überarbeite das kurz. Danke für's Aufpassen!
Gruß
DieAcht
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Also $O$ wäre dann
[mm] $O(Z_n)$=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(x_k)}
[/mm]
Dann ist
[mm] $O(Z_n)-U(Z_n)=\frac{b-a}{n}\sum_{n-1}^{k=0}{f(x_k)}-\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(x_k)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k-1})-f(x_k)}$
[/mm]
Also müsste
[mm] $\delta\ge max(f(x_{k-1})-f(x_k))$ [/mm] sein.
Leider sehe ich jetzt noch nicht wie mir das weiter hilft.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 04.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also [mm]O[/mm] wäre dann
>
> [mm]O(Z_n)[/mm][mm] =\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(x_k)}[/mm]
Ja.
> Dann ist
>
> [mm]O(Z_n)-U(Z_n)=\frac{b-a}{n}\sum_{n-1}^{k=0}{f(x_k)}-\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(x_k)}[/mm]
Du hast die Reihenfolge vertauscht. Es gilt:
[mm] O(Z_n)-U(Z_n)=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)-\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)=\frac{b-a}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}f(x_k)-\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\right).
[/mm]
Schau nun nochmal auf deine Zeichnung, dann kannst du obigen
Ausdruck äquivalent umformen. Um den Beweis dann formal
richtig aufzuschreiben kannst du für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] be-
stimmen, sodass für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ die Behauptung folgt, aber
das musst du nicht unbedingt tun, denn der Ausdruck wird
offensichtlich für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] kleiner, unter der Bedingung,
dass wir [mm] $n\$ [/mm] hinreichend groß wählen. (Was heißt das?)
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Ja natürlich, da habe ich mich vertan, es muss gelten:
[mm] $O(Z_n)-U(Z_n)=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$
[/mm]
für $n=1$ ist die Differen aus $O$ und $U$ ein fester wert:
[mm] $O(Z_1)-U(Z_1)=(b-a)(f(x_1)-f(x_0))$
[/mm]
[mm] $=(b-a)(f(b)-f(a))=\delta_1$
[/mm]
Das heißt also, dass für die Differenz aus ober und untersumme für alle [mm] $n\in\IN$, $n\ge [/mm] 1$
[mm] $\delta_n\le\delta_1$ [/mm] und für genügend große $n$ wird [mm] \delta [/mm] beliebig klein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 So 04.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Das musst du deutlicher zeigen. Es gilt:
[mm] $O(Z_n)-U(Z_n)=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)-\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)=\frac{b-a}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}f(x_k)-\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\right)=\frac{b-a}{n}\left(f(b)-f(a)\right)$.
[/mm]
Jetzt lies nochmal meine andere Antwort.
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