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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Hallo Leute,
Habe Probleme bei folgender Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Könnt ihr mir helfen? Vielleicht an einem Beispiel erklären, wie ich einen solchen Grenzwert berechne!?
LG
Karl
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
zu 1a)
mit der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{1+x^2} [/mm] und aus der Definition folgt
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}f(\bruch{k}{n})
[/mm]
Der rechte Term entspricht dem gesuchten Grenzwert und das Integral ist bekannt.
mfg ullim
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Also habe ich das jetzt richtig verstanden, dass ich einfach nur noch jetzt [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^{2}} dx} [/mm] bestimmen muss!? Und der Wert ist dann der gesuchte Grenzwert?
LG.
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Also habe ich das jetzt richtig verstanden, dass ich
> einfach nur noch jetzt [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^{2}} dx}[/mm]
> bestimmen muss!? Und der Wert ist dann der gesuchte
> Grenzwert?
>
> LG.
> Karl
Du solltest auf jeden Fall die einzelnen Rechenschritte verstehen die notwendig sind um auf die Lösung zu kommen denn die anderen Aufgaben unter 1 sind alle von der selben Art.
Aber ansonsten ja, nur das Integral ausrechnen.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Okay, prima!
Nur gibt es einen Weg um f(x) zu finden!? Habe mich nämlich grad an der b) mal probiert und irgendwie komm ich nicht weiter!
Wenn ich es richtig verstanden habe, muss ich jezz f(x) so finden, dass ich [mm] \bruch{1}{n}f(\bruch{k}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{k}{n^{2}+k^{2}} [/mm] ausdrücken kann!?
LG.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Okay, prima!
> Nur gibt es einen Weg um f(x) zu finden!? Habe mich
> nämlich grad an der b) mal probiert und irgendwie komm ich
> nicht weiter!
> Wenn ich es richtig verstanden habe, muss ich jezz f(x) so
> finden, dass ich [mm]\bruch{1}{n}f(\bruch{k}{n})[/mm] =
> [mm]\bruch{k}{n^{2}+k^{2}}[/mm] ausdrücken kann!?
>
> LG.
Im Prinzip ist das richtig. Versuch mal bei der b) im Nenner [mm] n^2 [/mm] auszuklammern und dann entsprechend umzuformen so wie Du geschrieben hast.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Okay ich würde dann auf f(x) = [mm] \bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] kommen??
Und bei der c) auf f(x) = [mm] \bruch{1}{\alpha+\beta x}?
[/mm]
LG
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> Okay ich würde dann auf f(x) = [mm]\bruch{x}{1+x^{2}}[/mm] kommen??
>
> Und bei der c) auf f(x) = [mm]\bruch{1}{\alpha+\beta x}?[/mm]
>
> LG
Hallo!
beide Funktionen sind richtig 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Wunderschön ich danke euch!
Und wie geht man nun an den 2. Teil der Aufgabe?
Letztendlich ist das eigentlich ja nur die andere Richtung, oder?
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> Wunderschön ich danke euch!
>
> Und wie geht man nun an den 2. Teil der Aufgabe?
> Letztendlich ist das eigentlich ja nur die andere
> Richtung, oder?
Hallo!
An sich ja, aber jetzt sind die Grenzen ja nicht mehr 0 und 1, deswegen wirst du die "allgemeine" Riemann-Summe benutzen müssen. Für $f(x) = [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] lautet die
[mm] $\integral_{1}^{a}{f(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n}f(x_{k})*(x_{k+1} [/mm] - [mm] x_{k})$
[/mm]
mit den in der Aufgabenstellung vorgeschlagenen [mm] x_{k}'s.
[/mm]
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Ich glaube mit den Riemann-Summen hab ich meine Schwierigkeiten!
Okay und wie gehe ich da jetzt weiter vor!?
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Hallo!
Setz doch erstmal für die [mm] x_{k} [/mm] die Werte in der Aufgabenstellung ein. Dann vereinfache ein wenig. Du wirst feststellen, dass nach deinen Vereinfachungen das k vollständig aus der Summe verschwunden ist. Damit kannst du die Summe ausrechnen.
Nun bleibt nur noch der Limes zu bestimmen. Das kannst du zum Beispiel über L'Hospital machen.
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
okay, vielleicht stell ich mich auch grad ein bißchen blöd an, aber ich setze für [mm] x_{k}=a^{\bruch{k}{n}} [/mm] ein!? und was mache ich mit [mm] x_{k+1}? [/mm] Setze ich [mm] a^{\bruch{k+1}{n}} [/mm] ein?
oh man...
LG
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Hallo!
> okay, vielleicht stell ich mich auch grad ein bißchen blöd
> an, aber ich setze für [mm]x_{k}=a^{\bruch{k}{n}}[/mm] ein!? und was
> mache ich mit [mm]x_{k+1}?[/mm]
[mm] x_{k} [/mm] = [mm] a^{\bruch{k}{n}}
[/mm]
nach der Aufgabenstellung, also auch
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] a^{\bruch{k+1}{n}}.
[/mm]
Und das nun in die Summe von oben einsetzen!
(Zur Info: Das, was wir hier gerade machen, ist das Intervall von 1 bis a in Abschnitte einzuteilen. Für k = 0 wird [mm] x_{0} [/mm] = [mm] a^{\bruch{0}{n}} [/mm] = 1, für k = n wird [mm] x_{n} [/mm] = [mm] a^{\bruch{n}{n}} [/mm] = a. Die Intervallunterteilungen sind hier aber nicht "gleichlang".)
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Achso, jetzt versteh ich das! Damit zerlege ich das also okay!
Also habe das jetzt eingesetzt!
Wenn ich das jetzt richtig gemacht habe, komme ich auf [mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x}dx} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] a Stimmt das?
Wie geh ich nun weiter vor?
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Hallo!
Ich komme leider auf was anderes:
[mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(f(x_{k})*(x_{k+1} - x_{k})\right)
[/mm]
mit $f(x) = [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] und [mm] $x_{k} [/mm] = [mm] a^{\bruch{k}{n}}$ [/mm] ist dann
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(f(a^{\bruch{k}{n}})*(a^{\bruch{k+1}{n}} - a^{\bruch{k}{n}})\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{1}{a^{\bruch{k}{n}}}*(a^{\bruch{k+1}{n}} - a^{\bruch{k}{n}})\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{1}{a^{\bruch{k}{n}}}*(a^{\bruch{k}{n}}*(a^{\bruch{1}{n}} -1))\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(a^{\bruch{1}{n}} -1)\right)
[/mm]
Nun bist du wieder dran! Weil der ganze Term in der Summe nicht von k abhängig ist, kannst du ihn als Faktor vor die Summe ziehen! Dann musst du [mm] \summe_{k=0}^{n}1 [/mm] berechnen... Das ist?
Nun musst du den Limes auswerten... Wie gesagt, benutze L'Hospital.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Okay, wunderbar, habe mein Fehler entdeckt!
Nun gehts weiter.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a^{\bruch{1}{n}} [/mm] -1) [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1
Meiner Meinung nach ist [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1 = n oder!?
Jetzt müsste ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n [mm] a^{\bruch{1}{n}} [/mm] - n über L'Hospital berechnen!?
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> Okay, wunderbar, habe mein Fehler entdeckt!
>
> Nun gehts weiter.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a^{\bruch{1}{n}}[/mm] -1)
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1
>
> Meiner Meinung nach ist [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1 = n oder!?
>
> Jetzt müsste ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n
> [mm]a^{\bruch{1}{n}}[/mm] - n über L'Hospital berechnen!?
Genau, das ist eine Möglichkeit. Dafür solltest du schreiben:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} n*(a^{\bruch{1}{n}}-1) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(a^{\bruch{1}{n}}-1)}{\bruch{1}{n}}.$
[/mm]
Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 So 19.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Schön.
Dann komme ich mit L´Hospital auf
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a^{\bruch{1}{n}} [/mm] ln(a) ! Richtig?
Und das strebt ja dann gegen ln(a) ?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Mo 20.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Schön.
>
> Dann komme ich mit L´Hospital auf
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a^{\bruch{1}{n}}[/mm] ln(a) !
> Richtig?
>
> Und das strebt ja dann gegen ln(a) ?
>
> LG
So ist es und schon ist die Aufgabe gelöst.
mfg ullim
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