Riemann-Integrierbarkeit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [a, b] [mm] \to \IR [/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann existiert zu jedem
[mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für jede Wahl Z von Teilpunkten und Stützstellen der Feinheit [mm] \mu(Z) \le \delta [/mm] gilt:
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x) dx}-S(Z, [/mm] f)| [mm] \le \varepsilon. [/mm] |
Hallo!
ich versuche grade, den Beweis für diese Aussage im Buch von Otto Forster (Analysis 1, Kapitel 18 Satz 8) nachzuvollziehen. S(Z, f) ist dabei definiert als
[mm] \summe_{k=1}^{n}f(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}), [/mm] also die Riemannsche Summe von f bzgl. der Zerlegung Z. Der Beweis beginnt so, dass Treppenfunktionen
[mm] \varphi [/mm] und [mm] \psi [/mm] gegeben sind mit [mm] \varphi \le [/mm] f [mm] \le \psi. [/mm] Dann wird gesagt, dass für alle Zerlegungen Z
[mm] \newline
[/mm]
S(Z, [mm] \varphi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le [/mm] S(Z, [mm] \psi) [/mm] gilt. Bis hierhin finde ich alles nachvollziehbar. Aber dann kommt auf einmal die Aussage, dass es ausreichend wäre, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist.
Das verstehe ich nicht, warum ist das genügend?
Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte!
Schönen Abend,
Christof
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [a, b] [mm]\to \IR[/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion.
> Dann existiert zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0, so dass für jede Wahl Z
> von Teilpunkten und Stützstellen der Feinheit [mm]\mu(Z) \le \delta[/mm]
> gilt:
> [mm]|\integral_{a}^{b}{f(x) dx}-S(Z,[/mm] f)| [mm]\le \varepsilon.[/mm]
>
> Hallo!
>
> ich versuche grade, den Beweis für diese Aussage im Buch
> von Otto Forster (Analysis 1, Kapitel 18 Satz 8)
> nachzuvollziehen. S(Z, f) ist dabei definiert als
> [mm]\summe_{k=1}^{n}f(\xi_{k})(x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1}),[/mm] also die
> Riemannsche Summe von f bzgl. der Zerlegung Z. Der Beweis
> beginnt so, dass Treppenfunktionen
> [mm]\varphi[/mm] und [mm]\psi[/mm] gegeben sind mit [mm]\varphi \le[/mm] f [mm]\le \psi.[/mm]
> Dann wird gesagt, dass für alle Zerlegungen Z
> [mm]\newline[/mm]
> S(Z, [mm]\varphi) \le[/mm] S(Z, f) [mm]\le[/mm] S(Z, [mm]\psi)[/mm] gilt. Bis hierhin
> finde ich alles nachvollziehbar. Aber dann kommt auf einmal
> die Aussage, dass es ausreichend wäre, den Satz für den
> Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist.
> Das verstehe ich nicht, warum ist das genügend?
>
> Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte!
ich habe leider das Buch gerade nicht zur Hand. Wie hat Otto Forster denn "Riemann-integrierbare-Funktionen" definiert?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel!
Im Buch von Forster ist die Riemann-Integrierbarkeit so definiert:
"Eine beschränkte Funktion f: [a, b] [mm] \to \IR [/mm] heißt Riemann-integrierbar, wenn
[mm] \overline{\integral_{a}^{b}^{f(x) dx}}=\underline{\integral_{a}^{b}^{f(x) dx}}."
[/mm]
Dabei sind
[mm] \overline{\integral_{a}^{b}^{f(x) dx}} [/mm] := inf{ [mm] {\integral_{a}^{b}{\varphi(x) dx}: \varphi \in T[a, b], \varphi \ge f} [/mm] } und
[mm] \underline{\integral_{a}^{b}^{f(x) dx}} [/mm] := sup{ [mm] {\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}: \psi \in T[a, b], \psi \le f} [/mm] }, also (Darboux'sches) Ober- und Unterintegral.
T[a, b] ist die Menge der Treppenfunktionen auf [a, b].
Viele Grüße,
Christof
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel!
>
> Im Buch von Forster ist die Riemann-Integrierbarkeit so
> definiert:
>
> "Eine beschränkte Funktion f: [a, b] [mm]\to \IR[/mm] heißt
> Riemann-integrierbar, wenn
> [mm]\overline{\integral_{a}^{b}^{f(x) dx}}=\underline{\integral_{a}^{b}^{f(x) dx}}."[/mm]
>
> Dabei sind
>
> [mm]\overline{\integral_{a}^{b}f(x) dx}:= \inf\{\integral_{a}^{b}{\varphi(x) dx}: \varphi \in T[a, b], \varphi \ge f\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } und
> [mm]\underline{\integral_{a}^{b}f(x) dx}:= \sup\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}: \psi \in T[a, b], \psi \le f\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }, also (Darboux'sches) Ober- und Unterintegral.
> T[a, b] ist die Menge der Treppenfunktionen auf [a, b].
okay. Sei also $f\,$ Riemann-integrierbar. Seien $\phi \ge f \ge \psi $ Treppenfunktionen $\psi,\phi \in T[a,b]\,.$
Dann gilt sicherlich schonmal (ich schreibe die Integrale verkürzt)
$$\int_a^b \psi\le \int_a^b f \le \int_a^b \phi\.$$
O.E. kannst Du annehmen, dass $\phi$ und $\psi$ bzgl. einer gemeinsamen Zerlegung von $[a,b]$ betrachtet werden.
Überlege nun mal:
Jede Funktion $o \in T[a,b]$ mit $o \ge f$ erfüllt insbesondere $o \ge \psi$ und jede Funktion $u \in T[a,b]$ mit $u \le f$ erfüllt insbesondere $u \le \phi\,.$ Wenn man etwa das ausnutzt sowie:
Wegen $\overline{\int_a^b f}=\underline{\int_a^b f}=\int_a^b f$ gelten:
Es existiert eine Folge $(\psi_n)_n$ in $T[a,b]\,$ mit $\psi_n \le f$ und $\int_a^b \psi_n \to \int_a^b f$ und es existiert eine Folge $(\phi_n)_n$ in $T[a,b]\,$ mit $f \le \phi_n$ und $\int_a^b \phi_n \to \int_a^b f\,.$
Mit alldem sollte diese Behauptung von Forster sich jedenfalls begründen lassen (ich habe allerdings ein wenig das Gefühl, dass das ein wenig "overdosed" ist). Versuch' mal, unter der Annahme, dass der Beweis für Treppenfunktionen schon gelungen wäre, und unter Verwendung obiger Überlegungen dann die Behauptung zu folgern. Also irgendwie:
Sei $\varepsilon > 0\,.$ Dann gibt es eine Zerlegung $Z\,$ der Feinheit $\delta=\delta_\varepsilon > 0$ so, dass $\psi,\phi \in T[a,b]$ und $\psi \le f \le \phi$ existieren mit
$$\int_a^b f -\int_a^b \psi < \varepsilon/4 $$
und
$$\int_a^b \phi -\int_a^b f < \varepsilon/4\,.$$
Damit sollte man zum Ziel kommen (ich habe es auch noch nicht komplett zu Ende gedacht - und, wie gesagt: Eventuell brauch' man nicht alles das, was ich da hingeschrieben habe).
Versprechen kann ich aber nix! (Ich schreibe es aber sicher mal in nächster Zeit genau(er) auf, aber vielleicht siehst Du jetzt schon die Idee, die dahinter steckt. Probier' mal, ob Du so zum Ziel kommst! Es ist übrigens gut und wichtig, dass Du die Stellen, wo etwas "offensichtlich" zu sein scheint, hinterfragst und auch klären kannst bzw. erklärt bekommst, warum das "offensichtlich" ist!)
Gruß,
Marcel
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