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Guten Morgen!
Ich muss im Rahmen einer Aufgabe den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von [mm]f(x)=x^2+1[/mm] und der x-Achse bestimmen.
Das mache ich mit der Obersumme (das Integralzeichen und sowas hatten wir noch nicht!).
Intervall [0;2], n Abschnitte der Breite [mm]\bruch{2}{n}[/mm]
Ich bekomme die Aufgabe aber nicht hin, weil wir das in der Schule nur mit [mm]x^2[/mm] bzw. [mm]x^3[/mm] gerechnet haben (ohne Verschiebung des Graphen nach oben).
Ich habe jetzt folgendes gerechnet:
[mm]O_n=\bruch{2}{n} [((\bruch{2}{n})^2+1)
+ ((2*\bruch{2}{n})^2+1)+...+((n*\bruch{2}{n})^2+1)][/mm]
Jetzt habe ich [mm](\bruch{2}{n})^2[/mm] ausgeklammert.
[mm]O_n=\bruch{2^3}{n^3} [(1+1)+(2^2+1)+...+(n^2+1)]
=\bruch{2^3}{n^3} [1+2^2+...+n^2]+\bruch{2^3}{n^3}*n[/mm] --> weil der Summand 1 n-mal auftaucht (oder?)
[mm]=\bruch{8}{n^3}*\bruch{1}{6}*n(n+1)(2n+1)+\bruch{8}{n^2}
=\bruch{4}{3}*\bruch{n+1}{n}*\bruch{2n+1}{n}+\bruch{8}{n^2}
=\bruch{4}{3}*(1+\bruch{1}{n})(2+\bruch{1}{n})+\bruch{8}{n^2}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{4}{3}*2=\bruch{8}{3}[/mm]
Somit käme ja aber das Gleiche raus wie bei [mm]f(x)=x^2[/mm] und das kann ja nicht sein...
Kann mir bitte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Sabrina!
> Ich muss im Rahmen einer Aufgabe den Flächeninhalt
> zwischen dem Graphen von [mm]f(x)=x^2+1[/mm] und der x-Achse
> bestimmen.
> Das mache ich mit der Obersumme (das Integralzeichen und
> sowas hatten wir noch nicht!).
> Intervall [0;2], n Abschnitte der Breite [mm]\bruch{2}{n}[/mm]
> Ich bekomme die Aufgabe aber nicht hin, weil wir das in
> der Schule nur mit [mm]x^2[/mm] bzw. [mm]x^3[/mm] gerechnet haben (ohne
> Verschiebung des Graphen nach oben).
> Ich habe jetzt folgendes gerechnet:
>
> [mm]O_n=\bruch{2}{n} [((\bruch{2}{n})^2+1)
+ ((2*\bruch{2}{n})^2+1)+...+((n*\bruch{2}{n})^2+1)][/mm]
>
> Jetzt habe ich [mm](\bruch{2}{n})^2[/mm] ausgeklammert.
Aber leider falsch! Wenn du rückwärts, also von unten nach oben, die Klammern wieder ausmultiplizierst, merkst du den Fehler wahrscheinlich selbst. Vielleicht sortierst du das Summengewusel erst um, bevor du ausklammrst, du kannst doch 1'en zusammenfassen, weil du weißt, wie viele es sind (s. u.)
> [mm][mm] O_n=\bruch{2^3}{n^3} [(1+1)+(2^2+1)+...+(n^2+1)]
[/mm]
Diese Gleichheit stimmt eben nicht mehr!
> Kann mir bitte jemand helfen?
Ich hoffe doch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ich habe das jetzt nochmal probiert:
...
[mm][mm] =\bruch{2}{n}*[(\bruch{2}{n})^2+2^2*(\bruch{2}{n})^2+...
[/mm]
[mm] +n^2*(\bruch{2}{n})^2+n]
[/mm]
[mm] =\bruch{2^3}{n^3}*[1+2^2+...+n^2+\bruch{n^2}{2}]
[/mm]
[mm] =\bruch{2^3}{n^3}*[1+2^2+...+n^2]+\bruch{2^3}{n^3}*\bruch{n^2}{2}
[/mm]
...
[mm] =\bruch{4}{3}(1+\bruch{1}{n})(2+\bruch{1}{n}+\bruch{4}{n}
[/mm]
Aber jetzt steht n doch im letzten Summanden wieder im Nenner und fällt beim Grenzwert weg...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
> Ich habe das jetzt nochmal probiert:
>
> ...
> [mm]=\bruch{2}{n}*[(\bruch{2}{n})^2+2^2*(\bruch{2}{n})^2+ ... [/mm][mm]+n^2*(\bruch{2}{n})^2+n][/mm]
= [mm] \bruch{2}{n}*[(\bruch{2}{n})^2+2^2*(\bruch{2}{n})^2+ [/mm] ... [mm] +n^{2}*(\bruch{2}{n})^2] [/mm] + [mm] \bruch{2}{n}*n
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{n}*[(\bruch{2}{n})^2+2^2*(\bruch{2}{n})^2+ [/mm] ... [mm] +n^{2}*(\bruch{2}{n})^2] [/mm] + 2
und jetzt kannst du wie gewohnt weitermachen oder ...
> [mm]=\bruch{2^3}{n^3}*[1+2^2+...+n^2+\bruch{n^2}{2}][/mm]
... muß richtig heißen
= [mm] \bruch{2^3}{n^3}*[1+2^2+ [/mm] ... [mm] +n^2+\bruch{n^3}{2^{2}}]
[/mm]
... und dann damit weiter
Noch mal etwas Ausklammern mit Bruchtermen üben (Algebra, ca. 8. Klasse)
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 04.11.2007 | | Autor: | Princess17 |
Danke nochmal!
So konnte ich die Aufgabe auch lösen! :)
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