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Riemann-Integral: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 So 26.07.2015
Autor: Stala

Aufgabe 1
Untersuchen Sie die Funktionen [mm] f_n: [0,1] \to \IR [/mm]gegeben durch
[mm] f_n(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x= 1/i \mbox{mit} i \in \{1,2....n\} \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases} [/mm] auf ihre Riemann-Integrierbarkeit. Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] falls [mm] f_n [/mm] Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe 2
Sei [mm] f: [0,1] \to \IR [/mm]  durch den punktweisen Grenzwert [mm] f(x):=limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] gegeben. Ist f Riemann-integrierbar.

Also für die erste Aufgabe lautet mein Ansatz:

Jede Funktion [mm] f_n(x) [/mm] ist beschränkt. Zudem ist sie auf dem Intervall [mm] [0,1]\setminus [/mm] M stetig, wobei M die endlich vielen Elemente x= 1/i  [mm] \mbox{mit} [/mm]  i [mm] \in \{1,2....n\} [/mm] enthält.Somit ist jede Funktion [mm] f_n [/mm] Riemann-Integrierbar.
[mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}= [/mm] 0 da [mm] f_n [/mm] überall auf [mm] [0,1]\setminus [/mm] M gleich 0 ist.

So nun zum Zweiten, vorherigen Satz kann ich ja nicht mehr anwenden, da die Menge M nicht mehr endlich ist. Allerdings ist folgender Satz bekannt:

Ist die Funktion f : [mm] [a,b]\to \IR [/mm] beschränkt und ist f auf allen Intervallen [mm] [c,d]\subset(a,b) [/mm] Riemann-integrierbar, dann ist auch auf [a,b] Riemann-integrierbar.

Wenn ich f auf jedem beliebigen Intervall [mm] [c,1]\subset(a,1] [/mm] betrachte, dann ist die Zahl der Unstetigkeitsstellen wieder endlich, also f Riemann-integrierbar. Mit dem genannten Satz f also auch auf [0,1] Riemann-integrierbar.

ist diese Argumentation so schlüssig?

Dankeschön ;)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Riemann-Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:19 Mi 29.07.2015
Autor: fred97


> Untersuchen Sie die Funktionen [mm]f_n: [0,1] \to \IR [/mm]gegeben
> durch
>  [mm] f_n(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x= 1/i \mbox{mit} i \in \{1,2....n\} \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases}[/mm]
> auf ihre Riemann-Integrierbarkeit. Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}[/mm] falls [mm]f_n[/mm] Riemann-integrierbar
> ist.
>  Sei [mm]f: [0,1] \to \IR [/mm]  durch den punktweisen Grenzwert
> [mm]f(x):=limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)[/mm] gegeben. Ist f
> Riemann-integrierbar.
>  Also für die erste Aufgabe lautet mein Ansatz:
>  
> Jede Funktion [mm]f_n(x)[/mm] ist beschränkt. Zudem ist sie auf dem
> Intervall [mm][0,1]\setminus[/mm] M stetig, wobei M die endlich
> vielen Elemente x= 1/i  [mm]\mbox{mit}[/mm]  i [mm]\in \{1,2....n\}[/mm]
> enthält.Somit ist jede Funktion [mm]f_n[/mm] Riemann-Integrierbar.
> [mm]\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=[/mm] 0 da [mm]f_n[/mm] überall auf
> [mm][0,1]\setminus[/mm] M gleich 0 ist.
>  
> So nun zum Zweiten, vorherigen Satz kann ich ja nicht mehr
> anwenden, da die Menge M nicht mehr endlich ist. Allerdings
> ist folgender Satz bekannt:
>  
> Ist die Funktion f : [mm][a,b]\to \IR[/mm] beschränkt und ist f auf
> allen Intervallen [mm][c,d]\subset(a,b)[/mm] Riemann-integrierbar,
> dann ist auch auf [a,b] Riemann-integrierbar.
>  
> Wenn ich f auf jedem beliebigen Intervall [mm][c,1]\subset(a,1][/mm]
> betrachte, dann ist die Zahl der Unstetigkeitsstellen
> wieder endlich, also f Riemann-integrierbar. Mit dem
> genannten Satz f also auch auf [0,1] Riemann-integrierbar.
>  
> ist diese Argumentation so schlüssig?

Ja

FRED

>
> Dankeschön ;)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  


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