Richtungsableitung, skal. Feld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:24 Fr 04.03.2011 | | Autor: | kopfl |
| Aufgabe | Gegeben sei das skalare Feld [mm] \phi(x,y,z)=3x^2y^2+yz^3.
[/mm]
a) Wie ändern sich die Funktionswerte von [mm] \phi(x,y,z)=3x^2y^2+yz^3 [/mm] im Punkt [mm] P_0 [/mm] (2;1;-1), wenn man in der Richtung [mm]\veca = \vektor{2\\1\\0}[/mm] fortschreitet?
b) In der Richtung [mm]\vec c [/mm] ist die Richtungsableitung in in [mm] P_0 [/mm] dem Betrage nach am größten?
c) Geben Sie zu beiden Aufgabenteilen die Werte der Richtungsableitungen im Punkt [mm] P_0 [/mm] an. |
Bei der Aufgabe ist mir nicht ganz klar was ich machen muss. Mein erster Ansatz ist folgender :
[mm] grad\phi =\vektor{6xy^2\\6x^2y+z3\\3yz^2}; (grad\phi)_P_0 =\vektor{12\\23\\3}
[/mm]
[mm]\bruch{d\phi}{d\vec a} = \bruch{\vec a *(grad \phi)_P_0}{|\vec a|}= \bruch{\vektor{2\\1\\0}*\vektor{12\\23\\3}}{\wurzel(5)}=\bruch{47}{\wurzel(5)}[/mm]
Ist das nun die Lösung für a oder c?
Und wie genau ist der Ansatz zu b?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei das skalare Feld [mm]\phi(x,y,z)=3x^2y^2+yz^3.[/mm]
> a) Wie ändern sich die Funktionswerte von
> [mm]\phi(x,y,z)=3x^2y^2+yz^3[/mm] im Punkt [mm]P_0[/mm] (2;1;-1), wenn man in
> der Richtung [mm]\veca = \vektor{2\\1\\0}[/mm] fortschreitet?
>
> b) In der Richtung [mm]\vec c[/mm] ist die Richtungsableitung in in
> [mm]P_0[/mm] dem Betrage nach am größten?
>
> c) Geben Sie zu beiden Aufgabenteilen die Werte der
> Richtungsableitungen im Punkt [mm]P_0[/mm] an.
> Bei der Aufgabe ist mir nicht ganz klar was ich machen
> muss. Mein erster Ansatz ist folgender :
>
>
> [mm]grad\ \phi\ =\ \vektor{6xy^2\\6x^2y+z^3 \\3yz^2}\ \qquad (grad\ \phi)_{P_0}\ =\ \vektor{12\\23\\3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d\phi}{d\vec a} = \bruch{\vec a *(grad\ \phi)_{P_0}}{|\vec a|}= \bruch{\vektor{2\\1\\0}*\vektor{12\\23\\3}}{\wurzel(5)}=\bruch{47}{\wurzel(5)}[/mm]
>
>
> Ist das nun die Lösung für a oder c?
das ist die Lösung zu (c), soweit sie sich auf die
Aufgabe (a) bezieht
> Und wie genau ist der Ansatz zu b?
Die Aufgabe sollte wohl so lauten: "In welcher Richtung ..... "
oder noch besser: "In welchen Richtungen ..... "
Die Frage zielt darauf ab, zu testen, ob du den Begriff
"Gradient eines skalaren Feldes" wirklich verstanden hast ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Fr 04.03.2011 | | Autor: | kopfl |
> > Ist das nun die Lösung für a oder c?
>
> das ist die Lösung zu (c), soweit sie sich auf die
> Aufgabe (a) bezieht
Das habe ich befürchtet, was genau muss ich denn bei a machen? Mir ist das nicht so ganz klar.
>
> > Und wie genau ist der Ansatz zu b?
>
> Die Aufgabe sollte wohl so lauten: "In welcher Richtung
> ..... "
> oder noch besser: "In welchen Richtungen ..... "
Sie lautet "In welcher Richtung ...", da hab ich wohl was vergessen.
> Die Frage zielt darauf ab, zu testen, ob du den Begriff
> "Gradient eines skalaren Feldes" wirklich verstanden hast
Hab ich dann wohl nicht so ganz, aber prinzipiell steht doch der Gradient senkrecht auf dem skalaren Feld, oder?
Welche möglichkeiten gibts denn da für die Richtungen?
>
>
> LG Al-Chw.
>
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Hallo kopfl,
>
> > > Ist das nun die Lösung für a oder c?
> >
> > das ist die Lösung zu (c), soweit sie sich auf die
> > Aufgabe (a) bezieht
> Das habe ich befürchtet, was genau muss ich denn bei a
> machen? Mir ist das nicht so ganz klar.
>
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Richtungsableitung
>
> >
> > > Und wie genau ist der Ansatz zu b?
Hier setzt Du die Richtung als unbekannt voraus.
> >
> > Die Aufgabe sollte wohl so lauten: "In welcher Richtung
> > ..... "
> > oder noch besser: "In welchen Richtungen ..... "
> Sie lautet "In welcher Richtung ...", da hab ich wohl was
> vergessen.
>
>
> > Die Frage zielt darauf ab, zu testen, ob du den Begriff
> > "Gradient eines skalaren Feldes" wirklich verstanden
> hast
> Hab ich dann wohl nicht so ganz, aber prinzipiell steht
> doch der Gradient senkrecht auf dem skalaren Feld, oder?
> Welche möglichkeiten gibts denn da für die Richtungen?
>
Nein, der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs.
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
Gruss
MathePower
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> > > Ist das nun die Lösung für a oder c?
> >
> > das ist die Lösung zu (c), soweit sie sich auf die
> > Aufgabe (a) bezieht
> Das habe ich befürchtet, was genau muss ich denn bei a
> machen? Mir ist das nicht so ganz klar.
Da könnte man etwa sagen: bewegt man sich in diese
Richtung um die Strecke [mm] \Delta{s}, [/mm] so ändert sich der Wert des Feldes [mm] \Phi
[/mm]
etwa um [mm] \Delta{s}*( [/mm] Wert der Richtungsableitung )
> > > Und wie genau ist der Ansatz zu b?
> >
> > Die Aufgabe sollte wohl so lauten: "In welcher Richtung
> > ..... "
> > oder noch besser: "In welchen Richtungen ..... "
> Sie lautet "In welcher Richtung ...", da hab ich wohl was
> vergessen.
>
>
> > Die Frage zielt darauf ab, zu testen, ob du den Begriff
> > "Gradient eines skalaren Feldes" wirklich verstanden
> hast
> Hab ich dann wohl nicht so ganz, aber prinzipiell steht
> doch der Gradient senkrecht auf dem skalaren Feld, oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Richtig ausgedrückt: der Gradient steht senkrecht auf den
Niveauflächen des skalaren Feldes, also auf den Flächen,
innerhalb welcher das skalare Feld einen gegebenen konstanten
Wert annimmt. Der Gradientenvektor, senkrecht dazu,
zeigt in die Richtung, in welcher das skalare Feld am stärksten
zunimmt. In der genau entgegen gesetzten Richtung ist
die Änderungsrate (lokal betrachtet) ebenso groß, nur mit
umgekehrtem Vorzeichen. Als Richtung für die stärkste
absolute (lokale) Änderungsrate kommen also der Gradientenvektor
und sein Gegenvektor in Frage.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 12.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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