Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll die Richtungsableitung für [mm] f(x,y,z)=x^2+yz+z^2 [/mm] im Punkt 0,0,1 und in die Richtung 1,1,0 bestimmen.
Ich setze also
F(t)=f(p+th)=f(0,0,1)+t(1,1,0) und bekomme [mm] t^2+t+1
[/mm]
Nun Ableiten: F'(t)=2t+1
Aber welchen Punkt setze ich nun in F'(t) ein? Das Skalarprodukt aus dem Punkt und der Richtung? Das wäre ja 0 und das scheint mir dann auch richtig, da 1 rauskommen müsste. Aber was ich wenn ich nicht 0,0,1 und 1,1,0 habe, wo eben gerade 0 rauskommt, weil sich die Werte aufheben (0*1, 0*1, 1*0), sodern zB 1*1, 1*2, 1*3 hätte? Welchen Wert würde ich dann einsetzen, die Summe daraus?
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Hallo Englein89,
> Hallo,
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> ich soll die Richtungsableitung für [mm]f(x,y,z)=x^2+yz+z^2[/mm] im
> Punkt 0,0,1 und in die Richtung 1,1,0 bestimmen.
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> Ich setze also
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> F(t)=f(p+th)=f(0,0,1)+t(1,1,0) und bekomme [mm]t^2+t+1[/mm]
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> Nun Ableiten: F'(t)=2t+1
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> Aber welchen Punkt setze ich nun in F'(t) ein? Das
> Skalarprodukt aus dem Punkt und der Richtung? Das wäre ja 0
> und das scheint mir dann auch richtig, da 1 rauskommen
> müsste. Aber was ich wenn ich nicht 0,0,1 und 1,1,0 habe,
> wo eben gerade 0 rauskommt, weil sich die Werte aufheben
> (0*1, 0*1, 1*0), sodern zB 1*1, 1*2, 1*3 hätte? Welchen
> Wert würde ich dann einsetzen, die Summe daraus?
Hier mußt Du den Differenzenquotienten
[mm]\bruch{f\left(p+t*h\right)-f\left(p\right)}{t}[/mm]
berechnen und anschliessend den Grenzwert für [mm]t \to 0[/mm] bilden.
Gruß
MathePower
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Danke, aber:
Gibt es dafür keine einfachere Lösung? Ich vermute, man hat das Skalarprodukt gebildet und zufällig 0 herausbekommen, aber ich könnte doch bestimmt auch einen anderen Wert einsetzen müssen, oder?
Wenn wir den Grenzwert bestimmt hätten, dann hätte man uns bestimmt die Rechnung gezeigt, schätze ich.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 So 01.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Dann solltest Du uns zur Abwechslung auch mal konkrete (und korrekte) Aufgabenstellung posten ...
uuuund
... verraten, was Du kannst, weißt bzw. Du laut Vorlesung / Wissensstand verwenden darfst.
Ist die Funktion total differenzierbar, vereinfacht sich die ![[]](/images/popup.gif) Richtungsableitung zu:
[mm] $$D_{\vec{v}}f [/mm] \ = \ [mm] \nabla(f)*\vec{v}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ich habe selbst nicht mehr Informationen dazu. Das ist eine Übung von unserem Zettel, darüber haben wir in der Vorlesung nie gesprochen und mehr als die gegebene Aufgabenstellung und diese Lösung, wo nachher 0 in F'(t) eingesetzt wird, habe ich auch nicht. Es wurde einfach 0 eingesetzt und das war dann das Ergebnis, ich frage mich aber warum gerade 0. Mit dem Grenzwert wird das wohl wenig zu tun haben, denn ich gehe davon aus, dass wir dies in der Übung dann auch aufgeschrieben hätten.
Da aber hier keine Rechnung mehr gemacht wurde, gehe ich davon aus, dass das Skalarprodukt gebildet wurde, das in dem Fall ja auch 0 ergeben würde. Ich weiß aber nicht, ob das zulässig ist.
In der Übung war mir das klar, sonst hätte ich ja nachgefragt, aber jetzt weiß ich einfach nicht mehr, wieso 0 eingesetzt wurde.
Und wenn dem so ist, dann frage ich mich, was wäre, wenn ich keine Punkte hätte, die sich dann als Skalarprodukt aufheben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 04.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Meine Frage lautete nur:
> ich soll die Richtungsableitung für [mm]f(x,y,z)=x^2+yz+z^2[/mm] im
> Punkt 0,0,1 und in die Richtung 1,1,0 bestimmen.
>
> Ich setze also
>
> F(t)=f(p+th)=f(0,0,1)+t(1,1,0) und bekomme [mm]t^2+t+1[/mm]
>
> Nun Ableiten: F'(t)=2t+1
>
Aber welchen Punkt setze ich nun in F'(t) ein?
Das
> Skalarprodukt aus dem Punkt und der Richtung? Das wäre ja 0
> und das scheint mir dann auch richtig, da 1 rauskommen
> müsste. Aber was ich wenn ich nicht 0,0,1 und 1,1,0 habe,
> wo eben gerade 0 rauskommt, weil sich die Werte aufheben
> (0*1, 0*1, 1*0), sodern zB 1*1, 1*2, 1*3 hätte? Welchen
> Wert würde ich dann einsetzen, die Summe daraus?
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Hallo,
die Aufgabe war
>>>>> ich soll die Richtungsableitung für $ [mm] f(x,y,z)=x^2+yz+z^2 [/mm] $ im Punkt 0,0,1 und in die Richtung 1,1,0 bestimmen.
Die Funktion ist eine "gutartige Funktion" - ohne daß ich mich genauer darüber auslasse , was ich damit meine, und ich sage Dir jetzt , wie man sowas ausrechnet.
Für die Richtungsableitung berechnest Du bei solchen Funktionen erstmal den Gradienten, also die "gestapelten" partiellen Ableitungen:
[mm] gradf(x,y,z)=\vektor{2x\\z\\y+2z}.
[/mm]
Da Du die Richtungsableitung im Punkt (0,0,1) sagen sollst, schreibst Du nun den Gradienten in diesem Punkt hin:
gradf(0,0,1) [mm] =\vektor{2*0\\1\\0+2*1}=\vektor{0\\1\\2}.
[/mm]
Es geht um die Richtungsableitung in Richtung [mm] v=\vektor{1\\1\\0}.
[/mm]
Dieser Vektor ist zunächst zu normieren: [mm] v_0=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1\\0}=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}\\0}.
[/mm]
Für die gesuchte Richtungsableitung berechnest Du nun das Skalarprodukt aus gradf(0,0,1) und [mm] v_o,
[/mm]
also [mm] \vektor{0\\1\\2}*\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}\\0} =\bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
(Irgendwo schreibst Du allerdings, daß 2 herauskommen soll, und das wundert mich nun etwas.)
Achso, noch zu der eigentlcih gestellten Frage: wenn Du das mit dem Differenzenquotienten $ [mm] \bruch{f\left(p+t\cdot{}h\right)-f\left(p\right)}{t} [/mm] $ berechnen willst, mußt Du davon den limes für [mm] t\to [/mm] 0 berechnen, wie MathePower sagte.
Gruß v. Angela
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Wir hatten 2 Wege (die ich auch einfacher finde), nämlich:
partielle ABleitungen gebildet
in diese den Punkt eingesetzt
dann habe ich einen neuen Punkt
den mit dem Punkt der angegebenen Richtung als Skalarprodukt multiplizieren
Dann habe ich als Ergebnis 1
oder der zweite Weg, den ich nicht verstanden habe:
mit der Formel nämlich: F(t)=f(p+th)=f(p)+t*f(h)
Dann hatte ich die Form [mm] t^2+t+1
[/mm]
und dann bekam ich eben F'(t)=2t+1 und dort haben wir den Punkt 0 eingesetzt, wo ich nicht verstehe, wo dieser herkommt. Meint ihr etwa, dass dafür der limes berechnet wurde?
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> Wir hatten 2 Wege (die ich auch einfacher finde), nämlich:
>
> partielle ABleitungen gebildet
> in diese den Punkt eingesetzt
> dann habe ich einen neuen Punkt
> den mit dem Punkt der angegebenen Richtung als
> Skalarprodukt multiplizieren
> Dann habe ich als Ergebnis 1
Hallo,
und ich habe bei diesem Weg eben nicht 1 erhalten, was mich wundert. Hast Du das Normieren des Richtungsvektors vergessen - oder normiert Ihr gar nicht? (Ich habe eben bei der wikipedia gelesen, daß das manchmal gar nicht gemacht wird.)
>
> oder der zweite Weg, den ich nicht verstanden habe:
> mit der Formel nämlich: F(t)=f(p+th)=f(p)+t*f(h)
Irgendwie ist hier doch der Wurm drin. Es ist doch [mm] f(p+th)\not=f(p)+t*f(h), [/mm] oder werd' ich jetzt verrückt?
Wie gesagt: man kann den von Mathepower geposteten Differenzenquotienten berechnen, und davon dann den Limes für [mm] t\to [/mm] 0,
hier also
[mm] \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{p} + t\vec{h}) - f(\vec{p})}{t}} [/mm] ,
[mm] \vec{p} [/mm] ist dabei der betrachtete Punkt und [mm] \vec{h} [/mm] der normierte Richtungsvektor - oder normiert Ihr nicht? Das würde die 1 erklären ...
Achso, jetzt hab' ich wohl die Antwort auf Deine Frage von vorhin gefunden:
[mm] \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{p} + t\vec{h}) - f(\vec{p})}{t}} [/mm] = [mm] \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{F(t)- F(0)}{t}} [/mm] = F'(0), sofern dieser GW existiert.
Du hättest dann für die Richtungsableitung F'(0) zu berechnen.
Gruß v. Angela
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Nein, wir normieren nicht. Wäre es dann richtig für den ersten Weg?
Komme ich mit diesem Weg dann eigentlich immer ans Ziel? Vielleicht brauche ich dann ja auch nur diese Methode und brauche mir um die andere keine Gedanken machen. Denn wie gesagt, ich habe wirklich nur das aufgeschrieben aus der Übung, wie ich es euch gepostet habe und ich kann mir nicht vorstellen, dass hier ein Grenzwert berechnet wurde, denn dann hätte das ja eine Rechnung gebraucht und die hätten wir bestimmt aufgeschrieben.
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> Nein, wir normieren nicht. Wäre es dann richtig für den
> ersten Weg?
>
> Komme ich mit diesem Weg dann eigentlich immer ans Ziel?
Hallo,
wie ich schon irgendwo schrieb: bei gutmütigen Funktionen.
Ich würde an Deiner Stelle einfach davon ausgehen, daß, sofern Du in der Klausur eine Richtungsableitung rechnen sollst, es die einer gutmütigen Funktion sein wird.
Merk Dir die Sache mit den partiellen Ableitungen und dem Skalarprodukt - und fertig.
Ich bin da realistisch: Du kannst nicht alle Vorgehensweisen für alle Eventualitäten in den Kopf bekommen, und ich glaube nicht, daß arme WiWis bitterböse Funktionen vorgesetzt bekommen. Also: Mut zur Lücke! Meine persönliche Meinung - ohne Garantie.
Gruß v. Angela
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