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Hi Leute
Folgende Funktion war mir gegeben:
[mm]f(x)=\frac{x^4}{4a}- \frac{6x^2}{a}+ \frac{20}{a}[/mm]
Davon soll ich nun die erste und zweite Ableitung bilden.
Das habe ich dabei herausbekommen und wollte nun wissen ob die beiden Ableitungen stimmen!!!
1. Ableitung:
[mm]f'(x)=\frac{x^3}{a}- \frac{12x}{a}+ \frac{1}{a^2}[/mm]
2. Ableitung:
[mm]f''(x)= \frac{3x^2}{a}- \frac{12}{a}+ \frac{1}{a^4} [/mm]
Stimmen die???
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo OnkelStephan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Folgende Funktion war mir gegeben:
>
> [mm]f(x)=\frac{x^4}{4a}- \frac{6x^2}{a}+ \frac{20}{a}[/mm]
> Davon soll ich nun die erste und zweite Ableitung bilden.
> Das habe ich dabei herausbekommen und wollte nun wissen,
> ob die beiden Ableitungen stimmen!!!
> [mm]f'(x)=\frac{x^3}{a}- \frac{12x}{a}+ \frac{1}{a^2}[/mm]
> [mm]f''(x)= \frac{3x^2}{a}- \frac{12}{a}+ \frac{1}{a^4}[/mm]
Die ersten beiden Summanden stimmen jeweils! Da hast Du die Terme mit dem Parameter $a$ immer als konstant angenommen: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Der Term [mm] $\frac{20}{a}$ [/mm] ist doch ein konstanter Summand und ergibt beim Ableiten folglich ... ?
Weißt Du nun, welchen Fehler Du gemacht hast?
Gruß vom
Roadrunner
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Hi Roadrunner
danke für den Tipp. Natürlich ist 20/a =0 beim ableiten!!!
Danke
mfg
OnkelStephan
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Hi
Nachdem ich nun weis wie die richtigen Ableitungen sind soll ich die Extrempunkte ausrechen.
Ich komme auf folgende zwei:
EP1=Hochpunkt bei ([mm]\wurzel{12}; -\bruch{16}{a}[/mm] )
EP1=Tiefpunkt bei ([mm]\wurzel{12}; \bruch{16}{a}[/mm] )
Stimmt das?
mfg
OnkelStephan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 26.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hi
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> Nachdem ich nun weis wie die richtigen Ableitungen sind
> soll ich die Extrempunkte ausrechen.
>
> Ich komme auf folgende zwei:
>
> EP1=Hochpunkt bei ([mm]\wurzel{12}; -\bruch{16}{a}[/mm] )
> EP1=Tiefpunkt bei ([mm]\wurzel{12}; \bruch{16}{a}[/mm] )
>
> Stimmt das?
>
> mfg
>
> OnkelStephan
Hallo Stephan,
am besten schreibst du den Lösungsweg mit
auf, aber jetzt machen wir es mal so.
$ [mm] f'(x_e)=\frac{x_e^3}{a}- \frac{12x_e}{a}=0 [/mm] $
Wir klammern das [mm] $x_e$ [/mm] vor:
[mm] $x_e(\frac{x_e^2}{a}- \frac{12}{a})=0 [/mm] $
Und nach dem Satz: "Ein Produkt ist null, wenn
einer der Faktoren null ist, folgt [mm] $x_{e1}=0$.
[/mm]
Jetzt gucken wir wann der zweite Faktor null
wird:
[mm] $\frac{x_e^2}{a}- \frac{12}{a})=0$ [/mm] $|*a$
[mm] $x_e^2-12=0$
[/mm]
[mm] $x_e^2=12 \to x_{e2,3}=\pm \sqrt [/mm] 12$
Jetzt noch das hinreichenden Kriterium:
[mm] $f''(0)=-\frac{12}{a}$ [/mm] daraus folgt, dass
der Punkt [mm] $E_1(0/f(0))$ [/mm] für alle $a>0$ ein
Hochpunkt und für alle $a<0$ ein Tiefpunkt
ist.
[mm] $f''(-\sqrt 12)=\frac{24}{a}$ [/mm] daraus folgt, dass
der Punkt [mm] $E_2(-\sqrt [/mm] 12 [mm] /f(-\sqrt [/mm] 12))$ für alle $a<0$ ein
Hochpunkt und für alle $a>0$ ein Tiefpunkt
ist.
[mm] $f''(\sqrt 12)=\frac{24}{a}$ [/mm] daraus folgt, dass
der Punkt [mm] $E_3(-\sqrt [/mm] 12 [mm] /f(-\sqrt [/mm] 12))$ für alle $a<0$ ein
Hochpunkt und für alle $a>0$ ein Tiefpunkt ist.
Liebe Grüße
Fugre
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Hi
Ich habe allesa nochmal nachgerechnet und will nochmal die Ergebnisse zusammenfassen:
a>0: EP1=HP bei ([mm]0[/mm];[mm]\bruch{20}{a}[/mm])
EP2=TP bei ([mm]\wurzel{12}[/mm];[mm]-\bruch{16}{a}[/mm])
EP3=TP bei ([mm]-\wurzel{12}[/mm];[mm]-\bruch{16}{a}[/mm])
a<0: EP1=TP bei ([mm]0[/mm];[mm]\bruch{20}{a}[/mm])
EP2=HP bei ([mm]\wurzel{12}[/mm];[mm]-\bruch{16}{a}[/mm])
EP3=HP bei ([mm]-\wurzel{12}[/mm];[mm]-\bruch{16}{a}[/mm])
So, das solle hinhauen oder????
mfg
OnkelStephan
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Hallo OnkelStephan!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
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